Em uma camada de solo argiloso foi verificada uma altura de ascenção capilar igual a 20 metros. Considerando a tensão superficial igual a 0,073 N/m, calcule o diâmetro dos tubos capilares formados nesse solo. Em seguida, calcule a força capilar que mantém a água na superfície desses tubos (a força capilar é igual a tensão superficial multiplicada pelo perímetro dos tubos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre ascensão capilar em um solo argiloso. O enunciado diz que a altura de ascensão capilar é de 20 metros e a tensão superficial é de 0,073 N/m. Nosso objetivo é:
- Calcular o diâmetro dos tubos capilares formados nesse solo.
- Calcular a força capilar que mantém a água na superfície desses tubos.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre capilaridade e como a tensão superficial influencia na ascensão da água em pequenos tubos. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a altura de ascensão capilar $ h $, a tensão superficial $ \sigma $, a densidade da água $ \rho $, a aceleração da gravidade $ g $ e o raio do tubo capilar $ r $.
A equação da capilaridade é dada por:
Onde:
- $ h $ é a altura da ascensão capilar;
- $ \sigma $ é a tensão superficial da água;
- $ \theta $ é o ângulo de contato entre a água e o tubo (para água em vidro, geralmente $ \theta = 0 $° e $ \cos(0) = 1 $);
- $ \rho $ é a densidade da água;
- $ g $ é a aceleração da gravidade;
- $ r $ é o raio do tubo capilar.
Como estamos tratando de água e supondo que o ângulo de contato é zero, podemos simplificar a equação para:
Nosso objetivo é encontrar o diâmetro $ d $, então primeiro vamos resolver para $ r $.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para resolver $ r $:
Agora, precisamos substituir os valores conhecidos:
- $ \sigma = 0,073 , N/m $
- $ \rho = 1000 , kg/m^3 $ (densidade da água)
- $ g = 9,81 , m/s^2 $
- $ h = 20 , m $
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, o raio:
Passo 4
Agora que temos o raio $ r $, podemos encontrar o diâmetro $ d $:
Convertendo para micrômetros ($ \mu m $):
Então, o diâmetro dos tubos capilares formados no solo é aproximadamente $ 1,488 , \mu m $.
Passo 5
Agora vamos calcular a força capilar que mantém a água na superfície desses tubos. A força capilar $ F_{cap} $ é dada por:
O perímetro de um círculo é $ \pi d $. Assim:
Já temos $ \sigma = 0,073 , N/m $ e $ d = 1,488 \times 10^{-6} , m $. Substituindo:
Vamos calcular:
Resposta
O diâmetro dos tubos capilares formados no solo argiloso é aproximadamente $ 1,488 , \mu m $ e a força capilar que mantém a água na superfície desses tubos é de cerca de $ 3,41 \times 10^{-7} , N $.