Uma jovem, para fazer sua maquiagem, comprou um espelho esférico de Gauss. Ela observou que, quando o seu rosto está a 30 cm do espelho, a sua imagem é direita e três vezes maior do que o tamanho do rosto. O tipo de espelho comprado pela jovem e o seu raio de curvatura são, respectivamente,
a) côncavo e maior do que 60 cm .
b) convexo e maior do que 60 cm .
c) côncavo e igual a 30 cm .
d) côncavo e menor do que 30 cm .
e) convexo e menor do que 30 cm .
a) côncavo e maior do que 60 cm .
b) convexo e maior do que 60 cm .
c) côncavo e igual a 30 cm .
d) côncavo e menor do que 30 cm .
e) convexo e menor do que 30 cm .
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos uma jovem que comprou um espelho esférico de Gauss para fazer a maquiagem. Ela coloca o rosto a 30 cm do espelho e observa que a imagem dela é direita (ou seja, não está invertida) e três vezes maior que o rosto. Nosso objetivo aqui é descobrir de que tipo de espelho se trata (côncavo ou convexo) e determinar o raio de curvatura desse espelho.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar de alguns conceitos básicos sobre espelhos esféricos:
- Espelho Côncavo: Pode formar imagens reais ou virtuais. Quando o objeto está mais próximo do espelho que o foco, a imagem formada é virtual, direita e ampliada.
- Espelho Convexo: Sempre forma imagens virtuais, direitas e reduzidas, independentemente da posição do objeto.
Além disso, usamos duas fórmulas principais na óptica de espelhos:
-
Equação do Espelho:Onde:
-
é a distância focal do espelho. -
é a distância do objeto ao espelho. -
é a distância da imagem ao espelho.
-
-
Aumento Linear:Onde:
-
é o aumento. -
é a altura da imagem. -
é a altura do objeto.
-
Passo 3
Vamos identificar os dados que temos:
- Distância do objeto ao espelho (
): 30 cm - Aumento (
): 3 (a imagem é três vezes maior que o objeto) - A imagem é direita, o que significa que o aumento é positivo (
), indicando que a imagem é virtual.
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do aumento para encontrar a distância da imagem (
):
Substituindo os valores que temos:
Resolvendo para
:
O valor negativo de
indica que a imagem está do mesmo lado que o objeto, confirmando que a imagem é virtual.
Passo 5
Com
cm e
cm, vamos usar a equação do espelho para encontrar a distância focal (
):
Portanto:
Passo 6
Agora, para encontrar o raio de curvatura (
), lembramos que:
Substituindo o valor de
:
Passo 7
Finalmente, sabemos que:
- A imagem é virtual e ampliada, características típicas de um espelho côncavo quando o objeto está dentro da distância focal.
- O raio de curvatura encontrado é 90 cm, que é maior do que 60 cm.
Resposta
A alternativa correta é a) côncavo e maior do que 60 cm.