Uma jovem, para fazer sua maquiagem, comprou um espelho esférico de Gauss. Ela observou que, quando o seu rosto está a 30 cm do espelho, a sua imagem é direita e três vezes maior do que o tamanho do rosto. O tipo de espelho comprado pela jovem e o seu raio de curvatura são, respectivamente,
a) côncavo e maior do que 60 cm .
b) convexo e maior do que 60 cm .
c) côncavo e igual a 30 cm .
d) côncavo e menor do que 30 cm .
e) convexo e menor do que 30 cm .

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos uma jovem que comprou um espelho esférico de Gauss para fazer a maquiagem. Ela coloca o rosto a 30 cm do espelho e observa que a imagem dela é direita (ou seja, não está invertida) e três vezes maior que o rosto. Nosso objetivo aqui é descobrir de que tipo de espelho se trata (côncavo ou convexo) e determinar o raio de curvatura desse espelho.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar de alguns conceitos básicos sobre espelhos esféricos:
  • Espelho Côncavo: Pode formar imagens reais ou virtuais. Quando o objeto está mais próximo do espelho que o foco, a imagem formada é virtual, direita e ampliada.
  • Espelho Convexo: Sempre forma imagens virtuais, direitas e reduzidas, independentemente da posição do objeto.
Além disso, usamos duas fórmulas principais na óptica de espelhos:
  1. Equação do Espelho:
    1f = 1p + 1q
    Onde:
    • m = hiho = -qp é a distância focal do espelho.
    • é a distância do objeto ao espelho.
    • é a distância da imagem ao espelho.
  2. Aumento Linear:
    Onde:
    • é o aumento.
    • é a altura da imagem.
    • é a altura do objeto.

Passo 3

Vamos identificar os dados que temos:
  • Distância do objeto ao espelho ( ): 30 cm
  • Aumento ( ): 3 (a imagem é três vezes maior que o objeto)
  • A imagem é direita, o que significa que o aumento é positivo ( ), indicando que a imagem é virtual.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do aumento para encontrar a distância da imagem ( m = -qp ):
3 = -q30
Substituindo os valores que temos:
q = -90 cm
Resolvendo para :
O valor negativo de indica que a imagem está do mesmo lado que o objeto, confirmando que a imagem é virtual.

Passo 5

Com 1f = 1p + 1q = 130 + 1-90 = 3 - 190 = 290 = 145 cm e f = 45 cm cm, vamos usar a equação do espelho para encontrar a distância focal ( ):
Portanto:

Passo 6

Agora, para encontrar o raio de curvatura ( R = 2f ), lembramos que:
R = 2 times 45 = 90 cm
Substituindo o valor de :

Passo 7

Finalmente, sabemos que:
  • A imagem é virtual e ampliada, características típicas de um espelho côncavo quando o objeto está dentro da distância focal.
  • O raio de curvatura encontrado é 90 cm, que é maior do que 60 cm.

Resposta

A alternativa correta é a) côncavo e maior do que 60 cm.

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