Uma câmera cilindrica está orientada com o seu eixo central ao longo do eixo y em sistema de coordenadas x y z. A face de cima da câmera é um pistão que pode deslizar para cima e para baixo, mudando o volume da câmera. A câmera está inicialmente preenchida com um gás monoatômico ideal. Quando a temperatuda da câmara diminui, o pistão desliza lentamente para baixo com uma velocidade constante até que o volume da câmera seja um quinto de seu volume inicial. Neste instante, a contração para com o gás assumindo um estado de esquilíbrio. Por qual fator a raiz da velocidade quadrática média das partículas muda durante essa contração? A velocidade aumenta ou diminui?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma câmara cilíndrica com um pistão que pode deslizar para mudar o volume. Inicialmente, ela está cheia de um gás monoatômico ideal. Quando a temperatura da câmara diminui, o pistão desce lentamente até o volume se tornar um quinto do original. Queremos descobrir por quanto a raiz da velocidade quadrática média das partículas (a famosa $ v_{rms} $) muda e se ela aumenta ou diminui. Para resolver isso, vamos usar conceitos de gases ideais e a relação entre temperatura e velocidade das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a raiz da velocidade quadrática média ($ v_{rms} $) está relacionada à temperatura através da fórmula:
vrms
Onde:
  • $ k_B $ é a constante de Boltzmann,
  • $ T $ é a temperatura,
  • $ m $ é a massa de uma partícula do gás.
Isso nos mostra que $ v_{rms} $ depende diretamente da raiz quadrada da temperatura.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que é:
PV = nRT
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ V $ é o volume,
  • $ n $ é a quantidade de substância (constante aqui),
  • $ R $ é a constante dos gases ideais,
  • $ T $ é a temperatura.
Como o número de partículas e o gás são os mesmos antes e depois, podemos comparar os estados inicial e final.

Passo 4

Vamos denotar:
  • Estado inicial: $ P_1, V_1, T_1 $
  • Estado final: $ P_2, V_2, T_2 $
Sabemos que:
P1, V1, T1
E a temperatura diminui, então $ T_2 < T_1 $.
Usando a Lei dos Gases Ideais para os dois estados:
P2, V2, T2
Substituindo $ V_2 $:
V2 = V15
T2 < T1
P1 V1T1 = P2 V2T2
Mas como o pistão desliza lentamente e a temperatura diminui, podemos assumir que a pressão não varia de forma significativa, ou seja, $ P_2 \approx P_1 $. Assim:
V2
P1 V1T1 = P2 (V15)T2
Ou seja, a temperatura final é um quinto da inicial.

Passo 5

Agora, voltando à relação entre $ v_{rms} $ e temperatura:
vrms

Resposta

A raiz da velocidade quadrática média das partículas diminui por um fator de $ \frac{1}{\sqrt{5}} $. Ou seja, a velocidade $ v_{rms} $ diminui.

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