Uma câmera cilindrica está orientada com o seu eixo central ao longo do eixo
em sistema de coordenadas
. A face de cima da câmera é um pistão que pode deslizar para cima e para baixo, mudando o volume da câmera. A câmera está inicialmente preenchida com um gás monoatômico ideal. Quando a temperatuda da câmara diminui, o pistão desliza lentamente para baixo com uma velocidade constante até que o volume da câmera seja um quinto de seu volume inicial. Neste instante, a contração para com o gás assumindo um estado de esquilíbrio. Por qual fator a raiz da velocidade quadrática média das partículas muda durante essa contração? A velocidade aumenta ou diminui?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma câmara cilíndrica com um pistão que pode deslizar para mudar o volume. Inicialmente, ela está cheia de um gás monoatômico ideal. Quando a temperatura da câmara diminui, o pistão desce lentamente até o volume se tornar um quinto do original. Queremos descobrir por quanto a raiz da velocidade quadrática média das partículas (a famosa $ v_{rms} $) muda e se ela aumenta ou diminui. Para resolver isso, vamos usar conceitos de gases ideais e a relação entre temperatura e velocidade das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a raiz da velocidade quadrática média ($ v_{rms} $) está relacionada à temperatura através da fórmula:
Onde:
- $ k_B $ é a constante de Boltzmann,
- $ T $ é a temperatura,
- $ m $ é a massa de uma partícula do gás.
Isso nos mostra que $ v_{rms} $ depende diretamente da raiz quadrada da temperatura.
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que é:
Onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ V $ é o volume,
- $ n $ é a quantidade de substância (constante aqui),
- $ R $ é a constante dos gases ideais,
- $ T $ é a temperatura.
Como o número de partículas e o gás são os mesmos antes e depois, podemos comparar os estados inicial e final.
Passo 4
Vamos denotar:
- Estado inicial: $ P_1, V_1, T_1 $
- Estado final: $ P_2, V_2, T_2 $
Sabemos que:
E a temperatura diminui, então $ T_2 < T_1 $.
Usando a Lei dos Gases Ideais para os dois estados:
Substituindo $ V_2 $:
Mas como o pistão desliza lentamente e a temperatura diminui, podemos assumir que a pressão não varia de forma significativa, ou seja, $ P_2 \approx P_1 $. Assim:
Ou seja, a temperatura final é um quinto da inicial.
Passo 5
Agora, voltando à relação entre $ v_{rms} $ e temperatura:
Resposta
A raiz da velocidade quadrática média das partículas diminui por um fator de $ \frac{1}{\sqrt{5}} $. Ou seja, a velocidade $ v_{rms} $ diminui.