Um gás ideal monoatômico está fechado em uma caixa cúbica de aresta l. Preservando a forma cúbica, o volume da caixa diminui até que a aresta tenha diminuído pela metade, sendo que essa mudança faz triplicar a pressão na caixa. Qual é a variação de entropia por partícula de gás na caixa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um gás ideal monoatômico preso em uma caixa cúbica com aresta de comprimento $ l $. A caixa mantém a forma cúbica, mas o comprimento da aresta diminui pela metade, ou seja, fica $ \frac{l}{2} $. Com essa redução, a pressão dentro da caixa triplica. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto a entropia por partícula do gás varia nesse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente a relação entre pressão, volume e temperatura para um gás ideal, além das fórmulas para variação de entropia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o volume muda. A caixa é cúbica, então o volume inicial $ V_1 $ é dado por:
Quando a aresta diminui pela metade, o novo comprimento é $ \frac{l}{2} $, então o volume final $ V_2 $ será:
Ou seja, o volume diminui para um oitavo do original.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a pressão e o volume usando a equação dos gases ideais:
Onde:
- $ P $ é a pressão
- $ V $ é o volume
- $ n $ é o número de mols
- $ R $ é a constante dos gases ideais
- $ T $ é a temperatura
Sabemos que a pressão inicial é $ P_1 $ e a final é $ P_2 = 3P_1 $. Com o volume final $ V_2 = \frac{V_1}{8} $, podemos escrever:
Substituindo $ P_2 $ e $ V_2 $:
Simplificando:
E como $ P_1 V_1 = n R T_1 $, podemos substituir:
Cancelando $ n R $:
Portanto, a temperatura também diminuiu.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variação de entropia por partícula. A variação de entropia total para um gás ideal pode ser expressa como:
Onde:
- $ C_v $ é a capacidade térmica a volume constante
Para um gás monoatômico, sabemos que:
Substituindo $ C_v $ na equação:
Passo 5
Vamos substituir $ T_2 = \frac{3}{8} T_1 $ e $ V_2 = \frac{V_1}{8} $ na expressão da variação de entropia:
Simplificando os logaritmos:
Podemos fatorar $ R $:
Passo 6
Agora, vamos calcular os logarithmos:
Substituindo esses valores:
Fazendo as contas:
Passo 7
Queremos a variação de entropia por partícula. Sabemos que $ n $ é o número de mols e que cada mol tem $ N_A $ partículas (Número de Avogadro). Então, a variação de entropia por partícula $ \Delta s $ é:
E sabemos que $ \frac{R}{N_A} = k_B $ (constante de Boltzmann), então:
Resposta
A variação de entropia por partícula de gás na caixa é aproximadamente
.