Um gás ideal monoatômico está fechado em uma caixa cúbica de aresta l. Preservando a forma cúbica, o volume da caixa diminui até que a aresta tenha diminuído pela metade, sendo que essa mudança faz triplicar a pressão na caixa. Qual é a variação de entropia por partícula de gás na caixa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um gás ideal monoatômico preso em uma caixa cúbica com aresta de comprimento $ l $. A caixa mantém a forma cúbica, mas o comprimento da aresta diminui pela metade, ou seja, fica $ \frac{l}{2} $. Com essa redução, a pressão dentro da caixa triplica. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto a entropia por partícula do gás varia nesse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente a relação entre pressão, volume e temperatura para um gás ideal, além das fórmulas para variação de entropia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o volume muda. A caixa é cúbica, então o volume inicial $ V_1 $ é dado por:
V1
Quando a aresta diminui pela metade, o novo comprimento é $ \frac{l}{2} $, então o volume final $ V_2 $ será:
V1 = l^3
Ou seja, o volume diminui para um oitavo do original.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a pressão e o volume usando a equação dos gases ideais:
P V = n R T
Onde:
  • $ P $ é a pressão
  • $ V $ é o volume
  • $ n $ é o número de mols
  • $ R $ é a constante dos gases ideais
  • $ T $ é a temperatura
Sabemos que a pressão inicial é $ P_1 $ e a final é $ P_2 = 3P_1 $. Com o volume final $ V_2 = \frac{V_1}{8} $, podemos escrever:
P
V
Substituindo $ P_2 $ e $ V_2 $:
n
Simplificando:
R
E como $ P_1 V_1 = n R T_1 $, podemos substituir:
T
Cancelando $ n R $:
P1
Portanto, a temperatura também diminuiu.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variação de entropia por partícula. A variação de entropia total para um gás ideal pode ser expressa como:
De
Onde:
  • $ C_v $ é a capacidade térmica a volume constante
Para um gás monoatômico, sabemos que:
Cv
Substituindo $ C_v $ na equação:
Cv = 32 R

Passo 5

Vamos substituir $ T_2 = \frac{3}{8} T_1 $ e $ V_2 = \frac{V_1}{8} $ na expressão da variação de entropia:
T2 = 38 T1
Simplificando os logaritmos:
V2 = V18
Podemos fatorar $ R $:
De

Passo 6

Agora, vamos calcular os logarithmos:
ln( 38 ) approx ln(0,375) approx -0,9808
ln( 18 ) approx ln(0,125) approx -2,0794
Substituindo esses valores:
De
Fazendo as contas:
De

Passo 7

Queremos a variação de entropia por partícula. Sabemos que $ n $ é o número de mols e que cada mol tem $ N_A $ partículas (Número de Avogadro). Então, a variação de entropia por partícula $ \Delta s $ é:
n
E sabemos que $ \frac{R}{N_A} = k_B $ (constante de Boltzmann), então:
NA

Resposta

A variação de entropia por partícula de gás na caixa é aproximadamente -3,55 , kB.

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