Use o teorema binomial para provar que, para todo
,
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teorema binomial para provar que, para qualquer número natural maior que zero
,
Aqui, estamos lidando com combinatória e álgebra, especificamente com o teorema binomial e somas envolvendo binômios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema binomial. Ele nos diz que:
Isso significa que, ao expandir
, os coeficientes são os binômios
.
Passo 3
Agora, para aplicar o teorema binomial na nossa prova, vamos escolher valores específicos para
e
. Vamos definir
e
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Simplificando a expressão de
e
:
Como
, então:
Passo 5
Para qualquer
,
. Portanto, a equação fica:
E isso é exatamente o que queríamos provar!
Resposta
Exercícios relacionados
Uma sequência de DNA é uma sucessão de bases nitrogenadas, as quais podem ser de quatro tipos: adenina, citosina, guanina ou timina. Obtenha o número de sequências de DNA possíveis, com comprimento 8, que têm exatamente três adeninas ou exatamente três guaninas
A caminhada no plano cartesiano é dada da seguinte maneira: os passos podem ser dados para cima, para baixo, para a direita, ou para a esquerda. Como um exemplo, se eu parto de um ponto (
) e dou um passo pra cima, eu chego no ponto
. Se todos os caminhos são feito de forma a não desperdiçar passos, quantos caminhos existem entre os pontos
e
?
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.