Use o teorema binomial para provar que, para todo ,

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teorema binomial para provar que, para qualquer número natural maior que zero ,
Aqui, estamos lidando com combinatória e álgebra, especificamente com o teorema binomial e somas envolvendo binômios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema binomial. Ele nos diz que:
Isso significa que, ao expandir , os coeficientes são os binômios .

Passo 3

Agora, para aplicar o teorema binomial na nossa prova, vamos escolher valores específicos para e . Vamos definir e . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Simplificando a expressão de e :
Como , então:

Passo 5

Para qualquer , . Portanto, a equação fica:
E isso é exatamente o que queríamos provar!

Resposta

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