Use o teorema binomial para provar que, para todo
,
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teorema binomial para provar que, para qualquer número natural maior que zero
,
Aqui, estamos lidando com combinatória e álgebra, especificamente com o teorema binomial e somas envolvendo binômios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema binomial. Ele nos diz que:
Isso significa que, ao expandir
, os coeficientes são os binômios
.
Passo 3
Agora, para aplicar o teorema binomial na nossa prova, vamos escolher valores específicos para
e
. Vamos definir
e
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Simplificando a expressão de
e
:
Como
, então:
Passo 5
Para qualquer
,
. Portanto, a equação fica:
E isso é exatamente o que queríamos provar!