Use o teorema binomial para provar que, para todo n>0,
sumi=0^n(-1)^ibinomni=0

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teorema binomial para provar que, para qualquer número natural maior que zero sumi=0^n (-1)^i binomni = 0 ,
Aqui, estamos lidando com combinatória e álgebra, especificamente com o teorema binomial e somas envolvendo binômios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema binomial. Ele nos diz que:
(a + b)^n = sumi=0^n binomni a^n-i b^i
Isso significa que, ao expandir , os coeficientes são os binômios .

Passo 3

Agora, para aplicar o teorema binomial na nossa prova, vamos escolher valores específicos para (1 + (-1))^n = sumi=0^n binomni 1^n-i (-1)^i e . Vamos definir e . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Simplificando a expressão de (1 - 1)^n = sumi=0^n binomni (-1)^i e 0^n = sumi=0^n (-1)^i binomni :
Como , então:

Passo 5

Para qualquer 0 = sumi=0^n (-1)^i binomni , . Portanto, a equação fica:
E isso é exatamente o que queríamos provar!

Resposta

0

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