Uma sequência de DNA é uma sucessão de bases nitrogenadas, as quais podem ser de quatro tipos: adenina, citosina, guanina ou timina. Obtenha o número de sequências de DNA possíveis, com comprimento 8, que têm exatamente três adeninas ou exatamente três guaninas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre sequências de DNA com 8 bases, onde cada base pode ser adenina (A), citosina ©, guanina (G) ou timina (T). A gente precisa descobrir quantas sequências têm exatamente três adeninas ou exatamente três guaninas. Vamos usar combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quantas sequências têm exatamente três adeninas. Para isso, precisamos escolher 3 posições entre as 8 disponíveis para colocar a adenina. O número de maneiras de fazer isso é dado pela combinação:
Depois de colocar as 3 adeninas, as outras 5 posições podem ser preenchidas com as outras 3 bases (C, G ou T). Então, para cada uma dessas 5 posições, temos 3 opções. Isso dá:
Multiplicando as combinações pelas opções das outras bases, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular de forma semelhante as sequências que têm exatamente três guaninas. O raciocínio é o mesmo: escolhemos 3 posições para a guanina e as demais 5 posições podem ser C, A ou T. Então, também teremos:

Passo 4

Até aqui, somamos as sequências com exatamente três adeninas e as com exatamente três guaninas. Porém, precisamos verificar se algum caso foi contado duas vezes, ou seja, sequências que têm exatamente três adeninas e exatamente três guaninas ao mesmo tempo. Para isso, vamos calcular essas sequências e subtrair da soma anterior para evitar a contagem duplicada.
Para ter exatamente três adeninas e exatamente três guaninas, escolhemos 3 posições para A e outras 3 diferentes para G. As 2 posições restantes podem ser C ou T. O número de maneiras de fazer isso é:

Passo 5

Agora, aplicamos o princípio da inclusão-exclusão para obter o total de sequências que têm exatamente três adeninas ou exatamente três guaninas:

Resposta

O número total de sequências de DNA com comprimento 8 que têm exatamente três adeninas ou exatamente três guaninas é:
Calculando os valores:
Então, há 25.132 sequências possíveis.

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