Um caminhão carregando um bloco de granito percorre uma trajetória curva de raio R, plana e horizontal, com velocidade (módulo) constante. O coeficiente de atrito estático entre a pista e os pneus é mu e entre o bloco de granito e o caminhão é mu^prime. (a) Quando a força de atrito estático entre o caminhão e a estrada é máxima, qual deve ser o valor mínimo de mu^prime, em termos de mu, para que o bloco não escorregue? (b) Sendo R=60 m o raio da curva e mu=0,40, com que velocidade máxima o caminhão poderá realizar essa curva sem que o bloco escorregue em sua carroceria? © O que acontecerá se a velocidade do caminhão for superior ao valor obtido no item (b)? (d) O que acontecerá se a velocidade do caminhão for igual à obtida no item (b), mas mu=0,30 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um caminhão que está fazendo uma curva com raio , na horizontal, e mantendo uma velocidade constante. Existem dois coeficientes de atrito envolvidos: entre os pneus do caminhão e a estrada, e entre o bloco de granito e o caminhão. A gente vai precisar entender um pouco sobre forças centrípetas e atrito estático para resolver os itens a seguir.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o item (a): queremos descobrir o valor mínimo de Fc = m v^2R em termos de Fatrito = mu m g para que o bloco não escorregue quando a força de atrito entre o caminhão e a estrada está no máximo.
Sabemos que a força centrípeta necessária para o caminhão fazer a curva é dada por:
mu m g >= m v^2R
Onde:
  • mu g >= v^2R é a massa do caminhão (não precisamos do valor numérico aqui)
  • F'atrito = mu' m g é a velocidade
  • mu' m g >= m v^2R é o raio da curva
A força de atrito máximo entre os pneus e a estrada é:
mu' g >= v^2R
Para que o caminhão faça a curva sem derrapar, mu' g >= mu g deve ser igual ou maior que mu' >= mu :
Podemos simplificar dos dois lados:
Agora, olhando para o bloco de granito, para que ele não escorregue dentro do caminhão, a força de atrito entre o bloco e o caminhão deve ser suficiente para fornecer a força centrípeta necessária para o bloco. A força de atrito máxima é:
Essa força precisa ser igual ou maior que a força centrípeta requerida pelo bloco:
Simplificando :
Para garantir que o bloco não escorregue, combinando as duas inequações:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos para o item (b): queremos saber qual a velocidade máxima que o caminhão pode ter para fazer a curva sem que o bloco escorpe, dado que mu g >= v^2R e v^2 <= mu g R .
Usando a inequação que derivamos no item (a):
v <= raizmu g R
Resolvendo para v <= raiz0,40 times 9,8 times 60 :
v <= raiz0,40 times 9,8 times 60 approx raiz235,2 approx 15,34 , m/s
Agora, substituindo os valores:
Calculando:
Então, a velocidade máxima é aproximadamente .

Passo 4

No item ©, a pergunta é: o que acontece se a velocidade do caminhão for superior ao valor obtido no item (b)?
Se a velocidade do caminhão for maior que , a força centrípeta necessária para manter o caminhão na curva será maior que a força de atrito disponível entre os pneus e a estrada. Isso fará com que o caminhão derrape para fora da curva porque a força de atrito não consegue mais sustentar a trajetória curva do caminhão.

Passo 5

Por fim, no item (d), queremos saber o que acontece se a velocidade do caminhão for igual à obtida no item (b), v <= raizmu g R = raiz0,30 times 9,8 times 60 approx raiz176,4 approx 13,28 , m/s , mas .
Neste caso, a força de atrito disponível é menor, já que diminuiu para . Usando a mesma fórmula:
Como a velocidade do caminhão é , que é maior que , a força de atrito não será suficiente para manter o bloco no lugar. Portanto, o bloco de granito vai escorregar e possivelmente cair do caminhão.

Resposta

(a)
(b) Velocidade máxima

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