Um caminhão descarrega areia a uma taxa de
. A areia forma um cone circular cuja altura é sempre igual ao dobro do raio da base. A que taxa o raio da base da pilha está aumentando quando sua altura é de 5 m ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a taxa de descarga de areia de um caminhão, que está formando um cone. A pergunta quer saber a que velocidade o raio da base desse cone está aumentando quando a altura é de 5 metros. Vamos usar cálculo, mais especificamente derivadas relacionadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a altura
e o raio
do cone. O enunciado diz que a altura é sempre o dobro do raio, ou seja:
Passo 3
Sabemos que o volume
de um cone é dado por:
Como
, podemos substituir essa relação na fórmula do volume:
Passo 4
Agora, vamos derivar o volume em relação ao tempo
para encontrar a taxa de variação do raio. Derivando ambos os lados:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que a areia está sendo descarregada a uma taxa de
e que a altura
. Como
, temos:
Substituindo os valores na equação derivada:
Isolando
:
Resposta
O raio da base da pilha está aumentando a uma taxa de
quando a altura é de 5 metros.
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dada por
. Algum desses pontos críticos é um mínimo global para essa função? Como você justificaria isso? (Dica: O que acontece quando
?)
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em
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.
Calcule os limites abaixo.