Um caminhão descarrega areia a uma taxa de . A areia forma um cone circular cuja altura é sempre igual ao dobro do raio da base. A que taxa o raio da base da pilha está aumentando quando sua altura é de 5 m ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a taxa de descarga de areia de um caminhão, que está formando um cone. A pergunta quer saber a que velocidade o raio da base desse cone está aumentando quando a altura é de 5 metros. Vamos usar cálculo, mais especificamente derivadas relacionadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a altura e o raio do cone. O enunciado diz que a altura é sempre o dobro do raio, ou seja:

Passo 3

Sabemos que o volume de um cone é dado por:
Como , podemos substituir essa relação na fórmula do volume:

Passo 4

Agora, vamos derivar o volume em relação ao tempo para encontrar a taxa de variação do raio. Derivando ambos os lados:
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que a areia está sendo descarregada a uma taxa de e que a altura . Como , temos:
Substituindo os valores na equação derivada:
Isolando :

Resposta

O raio da base da pilha está aumentando a uma taxa de quando a altura é de 5 metros.

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em
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.
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