Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os máximos e mínimos globais da função
no intervalo de
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente na área de análise de funções para identificar onde elas atingem seus valores máximos e mínimos dentro de um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, a gente precisa encontrar as derivadas da função. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo. Vamos calcular a derivada de
:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, a derivada existe para todo
, então vamos igualar a derivada a zero:
Passo 4
Sabemos que
acontece quando
, onde
é um inteiro qualquer. Dentro do intervalo
, os valores que satisfazem essa equação são:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo para determinar os valores máximos e mínimos. Isso porque os máximos e mínimos globais podem ocorrer nesses locais.
Calculando
nos pontos:
-
: -
: -
: -
:
Passo 6
Agora, vamos comparar esses valores para identificar qual é o maior e qual é o menor:
- Mínimo: O menor valor é
. - Máximo: O maior valor é
.
Resposta
No intervalo
, a função
tem:
- Mínimo global em
com . - Máximo global em
com .
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.
Encontre os pontos críticos da função
dada por
. Algum desses pontos críticos é um mínimo global para essa função? Como você justificaria isso? (Dica: O que acontece quando
?)
Um caminhão descarrega areia a uma taxa de
. A areia forma um cone circular cuja altura é sempre igual ao dobro do raio da base. A que taxa o raio da base da pilha está aumentando quando sua altura é de 5 m ?