Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
em

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os máximos e mínimos globais da função no intervalo de . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente na área de análise de funções para identificar onde elas atingem seus valores máximos e mínimos dentro de um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, a gente precisa encontrar as derivadas da função. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo. Vamos calcular a derivada de :

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, a derivada existe para todo , então vamos igualar a derivada a zero:

Passo 4

Sabemos que acontece quando , onde é um inteiro qualquer. Dentro do intervalo , os valores que satisfazem essa equação são:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo para determinar os valores máximos e mínimos. Isso porque os máximos e mínimos globais podem ocorrer nesses locais.
Calculando nos pontos:
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :

Passo 6

Agora, vamos comparar esses valores para identificar qual é o maior e qual é o menor:
  • Mínimo: O menor valor é .
  • Máximo: O maior valor é .

Resposta

No intervalo , a função tem:
  • Mínimo global em com .
  • Máximo global em com .

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.
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