Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno de . Isso faz parte do conteúdo de Polinômios de Taylor em cálculo. Pra resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas e aplicar a fórmula do polinômio de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação de uma função suave (como ) perto de um ponto específico (neste caso, ). A ideia é usar as derivadas da função nesse ponto para construir um polinômio que se aproxima bem da função original perto desse ponto.

Passo 3

A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem para uma função em torno de é:
Como queremos um polinômio de ordem 2 e , a fórmula fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
    Avaliada em :
  2. Segunda derivada:
    Avaliada em :
E claro, .

Passo 5

Com esses valores, substituímos na fórmula do polinômio de Taylor:
Sobre os gráficos, o gráfico de é uma curva crescente exponencial, enquanto o polinômio é uma parábola que aproxima a curva de perto de .

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 para em torno de é:

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