Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função
em torno de
. Isso faz parte do conteúdo de Polinômios de Taylor em cálculo. Pra resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas e aplicar a fórmula do polinômio de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação de uma função suave (como
) perto de um ponto específico (neste caso,
). A ideia é usar as derivadas da função nesse ponto para construir um polinômio que se aproxima bem da função original perto desse ponto.
Passo 3
A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem
para uma função
em torno de
é:
Como queremos um polinômio de ordem 2 e
, a fórmula fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
-
Primeira derivada:Avaliada em
: -
Segunda derivada:Avaliada em
:
E claro,
.
Passo 5
Com esses valores, substituímos na fórmula do polinômio de Taylor:
Sobre os gráficos, o gráfico de
é uma curva crescente exponencial, enquanto o polinômio
é uma parábola que aproxima a curva de
perto de
.
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 2 para
em torno de
é:
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