Encontre os pontos críticos da função dada por . Algum desses pontos críticos é um mínimo global para essa função? Como você justificaria isso? (Dica: O que acontece quando ?)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função . Depois disso, vamos ver se algum desses pontos é um mínimo global. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da função é zero, que são os pontos críticos.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Para resolver essa equação cúbica, vamos tentar encontrar uma raiz racional. Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos fazer a divisão polinomial para fatorar a equação:
Agora, resolvemos :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, o único ponto crítico real é .

Passo 4

Agora, vamos verificar se esse ponto crítico é um mínimo global. Para isso, vamos analisar a segunda derivada da função, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesse ponto.
Calculamos a segunda derivada:
Avaliamo em :
Como , a concavidade é para cima, indicando que é um mínimo local.

Passo 5

Para determinar se esse mínimo local é também um mínimo global, precisamos analisar o comportamento da função quando tende a .
Observando a função original , vemos que o termo de maior grau é , que domina o comportamento da função. Como o coeficiente de é positivo, quando tende a , tende a .

Passo 6

Como a função tende a em ambas as direções e temos apenas um mínimo local em , esse ponto crítico é, de fato, o mínimo global da função.

Resposta

O único ponto crítico real é e esse ponto é um mínimo global da função .

Exercícios relacionados

Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
em
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
, em
Um caminhão descarrega areia a uma taxa de . A areia forma um cone circular cuja altura é sempre igual ao dobro do raio da base. A que taxa o raio da base da pilha está aumentando quando sua altura é de 5 m ?
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.