Encontre os pontos críticos da função
dada por
. Algum desses pontos críticos é um mínimo global para essa função? Como você justificaria isso? (Dica: O que acontece quando
?)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
. Depois disso, vamos ver se algum desses pontos é um mínimo global. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da função é zero, que são os pontos críticos.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Para resolver essa equação cúbica, vamos tentar encontrar uma raiz racional. Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, vamos fazer a divisão polinomial para fatorar a equação:
Agora, resolvemos
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, o único ponto crítico real é
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se esse ponto crítico é um mínimo global. Para isso, vamos analisar a segunda derivada da função, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesse ponto.
Calculamos a segunda derivada:
Avaliamo em
:
Como
, a concavidade é para cima, indicando que
é um mínimo local.
Passo 5
Para determinar se esse mínimo local é também um mínimo global, precisamos analisar o comportamento da função quando
tende a
.
Observando a função original
, vemos que o termo de maior grau é
, que domina o comportamento da função. Como o coeficiente de
é positivo, quando
tende a
,
tende a
.
Passo 6
Como a função tende a
em ambas as direções e temos apenas um mínimo local em
, esse ponto crítico é, de fato, o mínimo global da função.
Resposta
O único ponto crítico real é
e esse ponto é um mínimo global da função
.
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