Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de 10000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjas tem, respectivamente, 50 maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20 , 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa 3300 reais, calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um caminhão que transporta três tipos de frutas: maçãs, peras e laranjas. No total, são 10.000 frutas distribuídas em 140 caixas, e o custo total da carga é de 3.300 reais. Cada tipo de fruta tem uma quantidade específica por caixa e um preço diferente:
  • Caixa de maçãs: 50 maçãs, 20 reais
  • Caixa de peras: 60 peras, 40 reais
  • Caixa de laranjas: 100 laranjas, 10 reais
Vamos precisar usar sistemas de equações para descobrir quantas caixas de cada fruta estão no caminhão e, assim, calcular o número total de cada fruta transportada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir variáveis para representar a quantidade de caixas de cada tipo de fruta:
  • a + p + o = 140 = número de caixas de maçãs
  • = número de caixas de peras
  • = número de caixas de laranjas
Sabemos que o total de caixas é 140, então temos a primeira equação:

Passo 3

Agora, vamos considerar o custo total das caixas. Cada caixa de maçãs custa 20 reais, de peras 40 reais e de laranjas 10 reais. O custo total é 3.300 reais. Assim, temos a segunda equação:
20a + 40p + 10o = 3300

Passo 4

Por último, vamos considerar o total de frutas. Cada caixa de maçãs tem 50 frutas, de peras 60 e de laranjas 100. O total de frutas é 10.000. Então, a terceira equação é:
50a + 60p + 100o = 10000

Passo 5

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 10:
2a + 4p + o = 330
Agora temos:

Passo 7

Vamos eliminar (2a + 4p + o) - (a + p + o) = 330 - 140 das primeiras duas equações. Subtraindo a primeira equação da segunda:
a + 3p = 190
Agora temos:

Passo 8

Agora, vamos simplificar a terceira equação dividindo todos os termos por 10:
5a + 6p + 10o = 1000

Passo 9

Vamos usar a primeira equação para expressar o = 140 - a - p em termos de e :

Passo 10

Substituímos 5a + 6p + 10(140 - a - p) = 1000 na equação simplificada da terceira equação:
5a + 6p + 1400 - 10a - 10p = 1000
-5a - 4p + 1400 = 1000
-5a - 4p = -400
5a + 4p = 400
Agora temos:

Passo 11

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
  1. 5a + 15p = 950
  2. (5a + 15p) - (5a + 4p) = 950 - 400
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a equação 4 por 5:
11p = 550
Agora, subtraímos a equação 5 dessa nova equação:
p = 50

Passo 12

Agora que sabemos que a + 3(50) = 190 , vamos substituir na equação 4 para encontrar a + 150 = 190 :
a = 40

Passo 13

Com o = 140 - 40 - 50 e o = 50 , podemos encontrar usando a equação 1:

Passo 14

Agora, vamos calcular o número total de cada fruta:
  • Maçãs: caixas * maçãs = maçãs
  • Peras: caixas * peras = peras
  • Laranjas: caixas * laranjas = laranjas

Resposta

O caminhão está transportando 2.000 maçãs, 3.000 peras e 5.000 laranjas.

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