Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de 10000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjas tem, respectivamente, 50 maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20 , 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa 3300 reais, calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um caminhão que transporta três tipos de frutas: maçãs, peras e laranjas. No total, são 10.000 frutas distribuídas em 140 caixas, e o custo total da carga é de 3.300 reais. Cada tipo de fruta tem uma quantidade específica por caixa e um preço diferente:
  • Caixa de maçãs: 50 maçãs, 20 reais
  • Caixa de peras: 60 peras, 40 reais
  • Caixa de laranjas: 100 laranjas, 10 reais
Vamos precisar usar sistemas de equações para descobrir quantas caixas de cada fruta estão no caminhão e, assim, calcular o número total de cada fruta transportada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir variáveis para representar a quantidade de caixas de cada tipo de fruta:
  • = número de caixas de maçãs
  • = número de caixas de peras
  • = número de caixas de laranjas
Sabemos que o total de caixas é 140, então temos a primeira equação:

Passo 3

Agora, vamos considerar o custo total das caixas. Cada caixa de maçãs custa 20 reais, de peras 40 reais e de laranjas 10 reais. O custo total é 3.300 reais. Assim, temos a segunda equação:

Passo 4

Por último, vamos considerar o total de frutas. Cada caixa de maçãs tem 50 frutas, de peras 60 e de laranjas 100. O total de frutas é 10.000. Então, a terceira equação é:

Passo 5

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 10:
Agora temos:

Passo 7

Vamos eliminar das primeiras duas equações. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora temos:

Passo 8

Agora, vamos simplificar a terceira equação dividindo todos os termos por 10:

Passo 9

Vamos usar a primeira equação para expressar em termos de e :

Passo 10

Substituímos na equação simplificada da terceira equação:
Agora temos:

Passo 11

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a equação 4 por 5:
Agora, subtraímos a equação 5 dessa nova equação:

Passo 12

Agora que sabemos que , vamos substituir na equação 4 para encontrar :

Passo 13

Com e , podemos encontrar usando a equação 1:

Passo 14

Agora, vamos calcular o número total de cada fruta:
  • Maçãs: caixas * maçãs = maçãs
  • Peras: caixas * peras = peras
  • Laranjas: caixas * laranjas = laranjas

Resposta

O caminhão está transportando 2.000 maçãs, 3.000 peras e 5.000 laranjas.

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