Usando o método descrito em sala de aula calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira matriz que você me enviou. O que a gente precisa fazer é calcular a inversa de uma matriz 4x4 usando o método que vimos em sala de aula. Para isso, vamos precisar saber como encontrar determinantes e usar a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que vamos trabalhar:
Para encontrar a inversa de , precisamos garantir que o determinante de seja diferente de zero. Se for, a matriz é inversível.

Passo 3

Calculamos o determinante de . O cálculo do determinante de uma matriz 4x4 pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos expandir pela primeira linha:
Calcular esses determinantes menores nos dará o valor total.

Passo 4

Depois de calcular o determinante de , supondo que seja diferente de zero, procedemos para encontrar a matriz adjunta de . Isso envolve encontrar a matriz de cofatores, que é a matriz formada pelos determinantes das matrizes menores multiplicados por , onde e são as posições dos elementos.

Passo 5

Com a matriz adjunta em mãos, a inversa de é dada por:
Então, dividimos cada elemento da adjunta pelo determinante de .

Passo 6

Agora, vamos para a segunda matriz fornecida. Novamente, precisamos calcular a inversa de uma matriz 4x4. O processo é similar ao anterior: verificar o determinante e encontrar a matriz adjunta.

Passo 7

A matriz que vamos trabalhar é:

Passo 8

Calculamos o determinante de . Se for diferente de zero, a matriz é inversível. O cálculo envolve expandir o determinante, possivelmente usando a primeira linha para simplificar.

Passo 9

Após encontrar que , procedemos para encontrar a matriz de cofatores de , formando a adjunta.

Passo 10

Finalmente, a inversa de será:

Passo 11

Vamos resolver a terceira matriz, que é 3x3 e contém uma variável . Nosso objetivo é encontrar a inversa dessa matriz, garantindo que para que o determinante não seja zero.

Passo 12

A matriz a ser invertida é:

Passo 13

Primeiro, calculamos o determinante de . Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores:
Então,

Passo 14

Como , , então a matriz é inversível. Agora, encontramos a matriz adjunta de :
Primeiro, calculamos a matriz de cofatores:
Calculando cada determinante:
  1. (mesmo cálculo)
Então, a matriz de cofatores é:

Passo 15

A matriz adjunta de é a transposta da matriz de cofatores:
Agora, multiplicamos cada elemento da adjunta por :

Passo 16

Por fim, vamos calcular a inversa da última matriz, que é 2x2. Esse caso é mais simples e direto.

Passo 17

A matriz que vamos inverter é:

Passo 18

Primeiro, calculamos o determinante de :
Como , a matriz é inversível.

Passo 19

Para uma matriz 2x2, a inversa é dada por:
Onde , , , e .

Passo 20

Substituindo os valores:

Resposta

A inversa da matriz é:

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b)