Usando o método descrito em sala de aula calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a primeira matriz que você me enviou. O que a gente precisa fazer é calcular a inversa de uma matriz 4x4 usando o método que vimos em sala de aula. Para isso, vamos precisar saber como encontrar determinantes e usar a matriz adjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que vamos trabalhar:
Para encontrar a inversa de , precisamos garantir que o determinante de seja diferente de zero. Se for, a matriz é inversível.
Passo 3
Calculamos o determinante de det(A) = 2 cdot det( 0 & -1 & 1 1 & 1 & 1 0 & 0 & 3 ) - 1 cdot det( 1 & -1 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 3 ) + 0 - 0 . O cálculo do determinante de uma matriz 4x4 pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos expandir pela primeira linha:
Calcular esses determinantes menores nos dará o valor total.
Passo 4
Depois de calcular o determinante de , supondo que seja diferente de zero, procedemos para encontrar a matriz adjunta de . Isso envolve encontrar a matriz de cofatores, que é a matriz formada pelos determinantes das matrizes menores multiplicados por , onde e são as posições dos elementos.
Passo 5
Com a matriz adjunta em mãos, a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é dada por:
Então, dividimos cada elemento da adjunta pelo determinante de .
Passo 6
Agora, vamos para a segunda matriz fornecida. Novamente, precisamos calcular a inversa de uma matriz 4x4. O processo é similar ao anterior: verificar o determinante e encontrar a matriz adjunta.
Calculamos o determinante de . Se for diferente de zero, a matriz é inversível. O cálculo envolve expandir o determinante, possivelmente usando a primeira linha para simplificar.
Passo 9
Após encontrar que , procedemos para encontrar a matriz de cofatores de , formando a adjunta.
Passo 10
Finalmente, a inversa de B^-1 = 1det(B) cdot adj(B) será:
Passo 11
Vamos resolver a terceira matriz, que é 3x3 e contém uma variável . Nosso objetivo é encontrar a inversa dessa matriz, garantindo que para que o determinante não seja zero.
Passo 12
A matriz a ser invertida é:
C = 1 & 0 & x 1 & 1 & x^2 2 & 2 & x^2
Passo 13
Primeiro, calculamos o determinante de det(C) = 1 cdot (1 cdot x^2 - x^2 cdot 2) - 0 + x cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 2) = 1 cdot (x^2 - 2x^2) + 0 + x cdot (2 - 2) = -x^2 . Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores:
Então,
Passo 14
Como Cof(C) = det1 & x^2 2 & x^2 & -det1 & x^2 2 & x^2 & det1 & 1 2 & 2 -det0 & x 2 & x^2 & det1 & x 2 & x^2 & -det1 & 0 2 & 2 det0 & x 1 & x^2 & -det1 & x 1 & x^2 & det1 & 0 1 & 1 , 1 & x^2 2 & x^2, então a matriz 1 & x^2 2 & x^2 é inversível. Agora, encontramos a matriz adjunta de 1 & 1 2 & 2: