Usando o método descrito em sala de aula calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo.
[rrrr 2 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 0 & 3 ],[rrrr 4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1 ],[rrr 1 & 0 & x 1 & 1 & x^2 2 & 2 & x^2 ](x neq 0) e [ll 1 & 2 3 & 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira matriz que você me enviou. O que a gente precisa fazer é calcular a inversa de uma matriz 4x4 usando o método que vimos em sala de aula. Para isso, vamos precisar saber como encontrar determinantes e usar a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que vamos trabalhar:
A = 2 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 0 & 3
Para encontrar a inversa de , precisamos garantir que o determinante de seja diferente de zero. Se for, a matriz é inversível.

Passo 3

Calculamos o determinante de det(A) = 2 cdot det( 0 & -1 & 1 1 & 1 & 1 0 & 0 & 3 ) - 1 cdot det( 1 & -1 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 3 ) + 0 - 0 . O cálculo do determinante de uma matriz 4x4 pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos expandir pela primeira linha:
Calcular esses determinantes menores nos dará o valor total.

Passo 4

Depois de calcular o determinante de , supondo que seja diferente de zero, procedemos para encontrar a matriz adjunta de . Isso envolve encontrar a matriz de cofatores, que é a matriz formada pelos determinantes das matrizes menores multiplicados por , onde e são as posições dos elementos.

Passo 5

Com a matriz adjunta em mãos, a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é dada por:
Então, dividimos cada elemento da adjunta pelo determinante de .

Passo 6

Agora, vamos para a segunda matriz fornecida. Novamente, precisamos calcular a inversa de uma matriz 4x4. O processo é similar ao anterior: verificar o determinante e encontrar a matriz adjunta.

Passo 7

A matriz que vamos trabalhar é:
B = 4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1

Passo 8

Calculamos o determinante de . Se for diferente de zero, a matriz é inversível. O cálculo envolve expandir o determinante, possivelmente usando a primeira linha para simplificar.

Passo 9

Após encontrar que , procedemos para encontrar a matriz de cofatores de , formando a adjunta.

Passo 10

Finalmente, a inversa de B^-1 = 1det(B) cdot adj(B) será:

Passo 11

Vamos resolver a terceira matriz, que é 3x3 e contém uma variável . Nosso objetivo é encontrar a inversa dessa matriz, garantindo que para que o determinante não seja zero.

Passo 12

A matriz a ser invertida é:
C = 1 & 0 & x 1 & 1 & x^2 2 & 2 & x^2

Passo 13

Primeiro, calculamos o determinante de det(C) = 1 cdot (1 cdot x^2 - x^2 cdot 2) - 0 + x cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 2) = 1 cdot (x^2 - 2x^2) + 0 + x cdot (2 - 2) = -x^2 . Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores:
Então,

Passo 14

Como Cof(C) = det1 & x^2 2 & x^2 & -det1 & x^2 2 & x^2 & det1 & 1 2 & 2 -det0 & x 2 & x^2 & det1 & x 2 & x^2 & -det1 & 0 2 & 2 det0 & x 1 & x^2 & -det1 & x 1 & x^2 & det1 & 0 1 & 1 , 1 & x^2 2 & x^2, então a matriz 1 & x^2 2 & x^2 é inversível. Agora, encontramos a matriz adjunta de 1 & 1 2 & 2:
Primeiro, calculamos a matriz de cofatores:
0 & x 2 & x^2
Calculando cada determinante:
  1. 1 & x 2 & x^2
  2. 1 & 0 2 & 2 (mesmo cálculo)
  3. 0 & x 1 & x^2
  4. 1 & x 1 & x^2
  5. 1 & 0 1 & 1
  6. Cof(C) = -x^2 & x^2 & 0 2x & x^2 - 2x & -2 -x & -(x^2 - x) & 1
Então, a matriz de cofatores é:

Passo 15

A matriz adjunta de adj(C) = -x^2 & 2x & -x x^2 & x^2 - 2x & -(x^2 - x) 0 & -2 & 1 é a transposta da matriz de cofatores:
C^-1 = 1-x^2 cdot -x^2 & 2x & -x x^2 & x^2 - 2x & -(x^2 - x) 0 & -2 & 1 = 1 & -2x & 1x -1 & 2x - 1 & 1x - 1 0 & 2x^2 & -1x^2
Agora, multiplicamos cada elemento da adjunta por :

Passo 16

Por fim, vamos calcular a inversa da última matriz, que é 2x2. Esse caso é mais simples e direto.

Passo 17

A matriz que vamos inverter é:
D = 1 & 2 3 & 4

Passo 18

Primeiro, calculamos o determinante de det(D) = 1 cdot 4 - 2 cdot 3 = 4 - 6 = -2 :
Como , a matriz é inversível.

Passo 19

Para uma matriz 2x2, a inversa é dada por:
D^-1 = 1det(D) d & -b -c & a
Onde , , , e .

Passo 20

Substituindo os valores:
D^-1 = 1-2 4 & -2 -3 & 1 = -2 & 1 32 & -12

Resposta

A inversa da matriz D^-1 = -2 & 1 32 & -12 é:

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