Seja uma matriz e uma matriz . Demonstre que a matriz não pode ser inversível.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes:
  • , que é uma matriz de dimensão (2 linhas e 1 coluna).
  • , que é uma matriz de dimensão (1 linha e 2 colunas).
O exercício quer que a gente mostre que a matriz resultante não pode ser inversível. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversível e como multiplicamos matrizes.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é uma matriz inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) com 1s na diagonal principal e 0s nas outras posições.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos as matrizes e . A multiplicação de uma matriz por uma matriz resulta em uma matriz . Vamos representar e assim:
Multiplicando por , temos:
Então, é uma matriz com elementos relacionados entre si.

Passo 4

Para uma matriz ser inversível, seu determinante deve ser diferente de zero. O determinante de uma matriz :
Veja que, independente dos valores de , , e , o determinante de sempre será zero.

Passo 5

Como o determinante de é zero, isso significa que não tem inversa. Portanto, a matriz não pode ser inversível.

Resposta

A matriz não é inversível porque seu determinante é sempre zero.

Exercícios relacionados

Usando o método descrito em sala de aula calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo.
Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de 10000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjas tem, respectivamente, 50 maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20 , 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa 3300 reais, calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas.
Sendo e 120 o ângulo entre os vetores e , calcular:
b)
Seja o subespaço de gerado pelos vetores .
Encontre uma base e a dimensão de ;