Seja
uma matriz
e
uma matriz
. Demonstre que a matriz
não pode ser inversível.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes:
-
, que é uma matriz de dimensão (2 linhas e 1 coluna). -
, que é uma matriz de dimensão (1 linha e 2 colunas).
O exercício quer que a gente mostre que a matriz resultante
não pode ser inversível. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversível e como multiplicamos matrizes.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é uma matriz inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) com 1s na diagonal principal e 0s nas outras posições.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos as matrizes
e
. A multiplicação de uma matriz
por uma matriz
resulta em uma matriz
. Vamos representar
e
assim:
Multiplicando
por
, temos:
Então,
é uma matriz
com elementos relacionados entre si.
Passo 4
Para uma matriz
ser inversível, seu determinante deve ser diferente de zero. O determinante de uma matriz
:
Veja que, independente dos valores de
,
,
e
, o determinante de
sempre será zero.
Passo 5
Como o determinante de
é zero, isso significa que
não tem inversa. Portanto, a matriz
não pode ser inversível.
Resposta
A matriz
não é inversível porque seu determinante é sempre zero.