Seja A uma matriz 2 times 1 e B uma matriz 1 times 2. Demonstre que a matriz C=A B não pode ser inversível.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes:
  • A, que é uma matriz de dimensão 2 times 1 (2 linhas e 1 coluna).
  • B, que é uma matriz de dimensão 1 times 2 (1 linha e 2 colunas).
O exercício quer que a gente mostre que a matriz resultante C = A B não pode ser inversível. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversível e como multiplicamos matrizes.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é uma matriz inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) com 1s na diagonal principal e 0s nas outras posições.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos as matrizes A e B. A multiplicação de uma matriz 2 times 1 por uma matriz 1 times 2 resulta em uma matriz 2 times 2. Vamos representar A e B assim:
A = a b , B = c & d
Multiplicando A por B, temos:
C = A B = a b c & d = a c & a d b c & b d
Então, C é uma matriz 2 times 2 com elementos relacionados entre si.

Passo 4

Para uma matriz 2 times 2 ser inversível, seu determinante deve ser diferente de zero. O determinante de uma matriz 2 times 2:
det(C) = (a c)(b d) - (a d)(b c) = a b c d - a b c d = 0
Veja que, independente dos valores de a, b, c e d, o determinante de C sempre será zero.

Passo 5

Como o determinante de C é zero, isso significa que C não tem inversa. Portanto, a matriz C = A B não pode ser inversível.

Resposta

A matriz C = A B não é inversível porque seu determinante é sempre zero.

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