Seja uma matriz e uma matriz . Demonstre que a matriz não pode ser inversível.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes:
, que é uma matriz de dimensão (2 linhas e 1 coluna).
, que é uma matriz de dimensão (1 linha e 2 colunas).
O exercício quer que a gente mostre que a matriz resultante não pode ser inversível. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversível e como multiplicamos matrizes.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é uma matriz inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) com 1s na diagonal principal e 0s nas outras posições.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos as matrizes e . A multiplicação de uma matriz por uma matriz resulta em uma matriz . Vamos representar e assim:
Multiplicando por , temos:
Então, é uma matriz com elementos relacionados entre si.
Passo 4
Para uma matriz ser inversível, seu determinante deve ser diferente de zero. O determinante de uma matriz :
Veja que, independente dos valores de , , e , o determinante de sempre será zero.
Passo 5
Como o determinante de é zero, isso significa que não tem inversa. Portanto, a matriz não pode ser inversível.
Resposta
A matriz não é inversível porque seu determinante é sempre zero.