No campeonato paulista de futebol, um famoso jogador nos presenteou com um lindo gol, no qual, ao correr para receber um lançamento de um dos atacantes, o goleador fenomenal parou a bola no peito do pé e a chutou certeira ao gol. Analisando a jogada pela TV, verifica-se que a bola é chutada pelo armador da jogada a partir do chão com uma velocidade inicial de 20,0 m / s, fazendo um ângulo com a horizontal de 45^circ para cima.
Dados: g=10,0 m / s^2 e raiz2=1,4
No instante do lançamento da bola, o artilheiro estava a 16,0 m de distância da posição em que ele estimou que a bola cairia e, ao perceber o início da jogada, corre para receber a bola. A direção do movimento do artilheiro é perpendicular à trajetória da bola, como mostra a figura. Qual é a velocidade média, em km/h, do artilheiro, para que ele alcance a bola imediatamente antes de ela tocar o gramado?

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um jogador que chutou a bola com uma velocidade inicial de formando um ângulo de com a horizontal. Queremos descobrir qual a velocidade média que o artilheiro precisa ter para alcançar a bola antes dela tocar o chão. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento projetado e cinemática.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a velocidade inicial da bola em suas componentes horizontal ( v0x = v0 cdot cos(45^circ) e v0y = v0 cdot sin(45^circ) ) e vertical ( v0x = 20,0 , m/s times 0,7 = 14,0 , m/s ). Como o ângulo é v0y = 20,0 , m/s times 0,7 = 14,0 , m/s , usamos as funções trigonométricas seno e cosseno:
Sabemos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo total de voo da bola até ela tocar o chão novamente. Para isso, usamos a fórmula do movimento vertical. No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero, e o tempo para subir é:
tsubida = v0yg = 14,0 , m/s10,0 , m/s^2 = 1,4 , s
Como a subida e a descida levam o mesmo tempo, o tempo total de voo é:
ttotal = 2 times tsubida = 2 times 1,4 , s = 2,8 , s

Passo 4

Com o tempo total de voo, podemos calcular a distância horizontal que a bola percorre:
d = v0x times ttotal = 14,0 , m/s times 2,8 , s = 39,2 , m
Isso significa que a bola vai percorrer 39,2 metros horizontalmente antes de tocar o chão.

Passo 5

O artilheiro está inicialmente a 16,0 metros da posição onde a bola vai cair. Ele precisa percorrer essa distância no mesmo tempo que a bola está no ar, ou seja, 2,8 segundos. Para encontrar a velocidade média que ele precisa ter, usamos a fórmula:
vmédia = distânciatempo = 16,0 , m2,8 , s approx 5,71 , m/s éâ

Passo 6

Por fim, vamos converter a velocidade do artilheiro de metros por segundo para quilômetros por hora, já que a resposta pede em km/h. Sabemos que:
1 , m/s = 3,6 , km/h
Então:
vmédia = 5,71 , m/s times 3,6 approx 20,56 , km/h é

Resposta

A velocidade média que o artilheiro precisa ter é aproximadamente 20,56 km/h.

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