Um proton é acelerado até uma energia cinética de 1,08 TeV no acelerador do Fermilab. Qual é a velocidade deste próton de alta energia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um próton que foi acelerado no Fermilab até uma energia cinética de . Nosso objetivo aqui é descobrir quão rápido esse próton está se movendo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física relativística, já que a energia envolvida é muito alta e a velocidade do próton deve ser próxima à da luz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre energia cinética ( E = K + m c^2 ) e a energia total ( ) de uma partícula na física relativística. A energia total é a soma da energia cinética e da energia de repouso ( ):
Onde:
  • é a energia total,
  • é a energia cinética,
  • é a massa do próton,
  • é a velocidade da luz ( ).

Passo 3

Vamos calcular a energia total do próton. Sabemos que a energia cinética 1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J . Primeiro, precisamos converter essa energia para Joules para facilitar os cálculos:
1 , TeV = 10^12 , eV = 1,602 times 10^-7 , J
K = 1,08 , TeV = 1,08 times 1,602 times 10^-7 , J approx 1,730 times 10^-7 , J

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia de repouso do próton. A massa do próton é aproximadamente Erepouso = m c^2 = 1,673 times 10^-27 , kg times (3 times 10^8 , m/s)^2 approx 1,505 times 10^-10 , J . Usando a fórmula :

Passo 5

Agora, somamos a energia cinética e a energia de repouso para obter a energia total:
E = K + Erepouso = 1,730 times 10^-7 , J + 1,505 times 10^-10 , J approx 1,730 times 10^-7 , J
Como é muito maior que , a energia total praticamente é igual à energia cinética.

Passo 6

Para encontrar a velocidade E = gamma m c^2 do próton, usamos a relação da física relativística que liga a energia total gamma = Em c^2 com o fator de Lorentz gamma = 1raiz1 - ( vc )^2 :
Em c^2 = 1raiz1 - ( vc )^2
Além disso, sabemos que:
Vamos igualar as duas expressões para :

Passo 7

Resolvendo para raiz1 - ( vc )^2 = m c^2E :
1 - ( vc )^2 = ( m c^2E )^2
( vc )^2 = 1 - ( m c^2E )^2
vc = raiz1 - ( m c^2E )^2

Passo 8

Agora, substituímos os valores calculados:
m c^2E = 1,505 times 10^-10 , J1,730 times 10^-7 , J approx 8,7 times 10^-4
( m c^2E )^2 approx 7,57 times 10^-7
vc = raiz1 - 7,57 times 10^-7 approx raiz0,9999992423 approx 0,999999621

Passo 9

Finalmente, calculamos a velocidade v = 0,999999621 times c approx 0,999999621 times 3 times 10^8 , m/s approx 2,9999988 times 10^8 , m/s :

Resposta

A velocidade do próton de alta energia é aproximadamente , ou seja, muito próxima à velocidade da luz.

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