O campo elétrico dentro de uma esfera não condutora de raio R com carga espalhada com uniformidade por todo o seu volume, està radialmente direcionado e tem módulo dado por
E(r)=q r4 pi t0 R^7
Em que, q (positiva ou negativa) é a carga total da esfera e r é à distância ao centro da esfera. Sendo q positivo, qual desses dois pontos tem maior potencial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera não condutora com carga distribuída de forma uniforme. O campo elétrico dentro dessa esfera é radial e depende da distância ao centro. Queremos descobrir qual dos dois pontos tem maior potencial elétrico quando a carga total é positiva. Para resolver isso, vamos precisar entender como o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico e usar essas relações para comparar os potenciais nos pontos em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico E = -dVdr é relacionado ao campo elétrico através da seguinte relação:
Isso significa que o campo elétrico é a derivada negativa do potencial em relação à distância .

Passo 3

Dado que o campo elétrico dentro da esfera é:
E(r) = q r4 pi t0 R^7
Podemos integrar essa expressão para encontrar o potencial V(r) = -integralinfty^r E(r') dr' . Vamos integrar de um ponto de referência (geralmente o infinito onde ) até o ponto :
Mas como estamos dentro da esfera, precisamos considerar os limites adequados.

Passo 4

Dentro da esfera (para V(r) = q4 pi t0 R^7 ( R^22 - r^22 ) + V(R) ), a carga efetiva que contribui para o campo elétrico é proporcional a . Então, o potencial elétrico dentro da esfera é dado por:
Onde é o potencial na superfície da esfera.

Passo 5

Sabemos que o potencial na superfície V(R) = q4 pi t0 R é:
V(r) = q4 pi t0 R^7 ( R^2 - r^22 ) + q4 pi t0 R
Substituindo na expressão anterior:
V(r) = q4 pi t0 R ( R^2 - r^22 R^6 + 1 )
Simplificando:

Passo 6

Observando a expressão de , percebemos que à medida que aumenta, o termo diminui o potencial. Portanto, o potencial é maior quanto menor for .

Resposta

O ponto mais próximo ao centro da esfera tem maior potencial elétrico.

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