(e) O campo elétrico em determinado ponto P , pode ser calculado exatamente: ao dividir o corpo todo em um número N de cubos pequenos, determinar a soma do campo elétrico produzido por cada cubo no ponto P e finalmente tomar o limite de N infinito.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão sobre como calcular o campo elétrico em um ponto específico, chamado ponto P. A ideia é dividir todo o corpo que está gerando o campo elétrico em vários cubinhos pequenos, somar o campo elétrico que cada cubinho gera no ponto P e, por fim, deixar o número de cubos crescer até o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico, princípio da superposição e cálculo de limites.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o campo elétrico é gerado por uma carga. Segundo a Lei de Coulomb, o campo elétrico
criado por uma carga pontual
em um ponto a uma distância
é dado por:
onde
é a constante eletrostática e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Agora, vamos dividir o corpo em
cubos pequenos. Cada cubinho tem uma carga diferencial
e está a uma distância
do ponto P. O campo elétrico produzido por cada cubo no ponto P será então:
onde
é a carga do cubo
e
é a direção do campo desse cubo em P.
Passo 4
Para encontrar o campo total no ponto P, a gente soma todos os campos elétricos individuais gerados por cada cubinho. Isso é o que chamamos de princípio da superposição:
Passo 5
Agora, para obter o resultado exato, precisamos deixar o número de cubos
crescer até o infinito, o que faz com que o tamanho de cada cubo diminua a zero. Nesse limite, a soma discreta se transforma em uma integral contínua. Então, o campo elétrico em P será:
onde a integral é feita sobre todo o volume do corpo que está gerando o campo.
Resposta
O campo elétrico no ponto P pode ser calculado exatamente dividindo o corpo em infinitos cubos pequenos, somando os campos elétricos de cada cubo em P e, no limite, obtendo a integral: