Prob. 32 (Halliday): A atmosfera inferior da Terra contém íons negativos e positivos que são produzidos por elementos radioativos do solo e por raios cósmicos provenientes do espaço. Em uma certa região, a intensidade do campo elétrico atmosférico é 120 V / m e o campo é dirigido verticalmente para baixo. Esse campo faz com que íons com uma unidade de carga positiva e uma densidade de 620 cm^-3 se movam para baixo, enquanto íons com uma unidade de carga negativa e uma densidade de 550 cm^-3 se movam para cima (Fig. 26-27). O valor experimental da condutividade do ar nessa região é 2,7 times 10^-14(Omega m)^-1. Determine
(a) o módulo da densidade de corrente e
(b) a velocidade de deriva dos íons, supondo que é a mesma para íons positivos e negativos. Adicional: © Qual é o valor da corrente que atravessa um quadrado horizontal de aresta 2 m ?
(d) Qual seria a corrente se o quadrado fizer um ângulo de pi / 6 com um plano horizontal?
R. © 12,94 p A. (d) 11,21 p A.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre íons positivos e negativos na atmosfera da Terra. O campo elétrico nessa região é de 120 V/m apontando pra baixo. Sabemos as densidades dos íons positivos e negativos, além da condutividade do ar. Nosso objetivo é descobrir:
(a) O módulo da densidade de corrente
(b) A velocidade de deriva dos íons
© A corrente que passa por um quadrado horizontal de lado 2 m
(d) A corrente se o quadrado estiver inclinado em π/6 radianos
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente sobre corrente elétrica e movimento de partículas carregadas em campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a densidade de corrente. Ela representa a quantidade de carga que passa por uma área por unidade de tempo. A fórmula para a densidade de corrente ( J = sigma E ) é:
Onde:
  • é a condutividade elétrica do material
  • é o campo elétrico aplicado

Passo 3

Vamos calcular o módulo da densidade de corrente usando a fórmula acima. Substituindo os valores fornecidos:
|J| = sigma E = 2,7 times 10^-14 , (Omega cdot m)^-1 times 120 , Vm = 3,24 times 10^-12 , Am^2

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade de deriva ( J = n q vd ) dos íons, usamos a relação entre a densidade de corrente e a mobilidade dos íons. A fórmula é:
Onde:
  • é a densidade de íons
  • é a carga unitária
  • é a velocidade de deriva
Como temos íons positivos e negativos, precisamos considerar a contribuição de ambos.

Passo 5

Calculando o total de íons por metro cúbico. Primeiro, convertendo as densidades de cm³ para m³:
n+ = 620 , cm^-3 = 6,2 times 10^5 , m^-3
n- = 550 , cm^-3 = 5,5 times 10^5 , m^-3
A carga unitária é .

Passo 6

Somando as contribuições dos íons positivos e negativos:
J = (n+ + n- ) q vd
3,24 times 10^-12 = (6,2 times 10^5 + 5,5 times 10^5) times 1,6 times 10^-19 times vd
3,24 times 10^-12 = 1,17 times 10^6 times 1,6 times 10^-19 times vd
3,24 times 10^-12 = 1,872 times 10^-13 times vd

Passo 7

Resolvendo para vd = 3,24 times 10^-121,872 times 10^-13 approx 17,3 , m/s :

Passo 8

Agora, para a parte ©, queremos a corrente que atravessa um quadrado horizontal de aresta 2 m. A área A = 2 , m times 2 , m = 4 , m^2 é:
I = J times A = 3,24 times 10^-12 , Am^2 times 4 , m^2 = 1,296 times 10^-11 , A = 12,96 , pA
A corrente é:

Passo 9

Para a parte (d), se o quadrado fizer um ângulo de A' = A cos(pi/6) = 4 times raiz32 approx 4 times 0,866 = 3,464 , m^2 com o plano horizontal, a área efetiva que corta a corrente é:
I' = J times A' = 3,24 times 10^-12 times 3,464 approx 1,12 times 10^-11 , A = 11,2 , pA
Então, a corrente será:

Resposta

© A corrente que atravessa o quadrado horizontal é aproximadamente .
(d) Se o quadrado estiver inclinado em , a corrente será aproximadamente .

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