Prob. 32 (Halliday): A atmosfera inferior da Terra contém íons negativos e positivos que são produzidos por elementos radioativos do solo e por raios cósmicos provenientes do espaço. Em uma certa região, a intensidade do campo elétrico atmosférico é
e o campo é dirigido verticalmente para baixo. Esse campo faz com que íons com uma unidade de carga positiva e uma densidade de
se movam para baixo, enquanto íons com uma unidade de carga negativa e uma densidade de
se movam para cima (Fig. 26-27). O valor experimental da condutividade do ar nessa região é
. Determine
(a) o módulo da densidade de corrente e
(b) a velocidade de deriva dos íons, supondo que é a mesma para íons positivos e negativos. Adicional: © Qual é o valor da corrente que atravessa um quadrado horizontal de aresta
?
(d) Qual seria a corrente se o quadrado fizer um ângulo de
com um plano horizontal?
R. ©
. (d)
.
(a) o módulo da densidade de corrente e
(b) a velocidade de deriva dos íons, supondo que é a mesma para íons positivos e negativos. Adicional: © Qual é o valor da corrente que atravessa um quadrado horizontal de aresta
(d) Qual seria a corrente se o quadrado fizer um ângulo de
R. ©
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre íons positivos e negativos na atmosfera da Terra. O campo elétrico nessa região é de 120 V/m apontando pra baixo. Sabemos as densidades dos íons positivos e negativos, além da condutividade do ar. Nosso objetivo é descobrir:
(a) O módulo da densidade de corrente
(b) A velocidade de deriva dos íons
© A corrente que passa por um quadrado horizontal de lado 2 m
(d) A corrente se o quadrado estiver inclinado em π/6 radianos
(b) A velocidade de deriva dos íons
© A corrente que passa por um quadrado horizontal de lado 2 m
(d) A corrente se o quadrado estiver inclinado em π/6 radianos
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente sobre corrente elétrica e movimento de partículas carregadas em campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a densidade de corrente. Ela representa a quantidade de carga que passa por uma área por unidade de tempo. A fórmula para a densidade de corrente (
) é:
Onde:
-
é a condutividade elétrica do material -
é o campo elétrico aplicado
Passo 3
Vamos calcular o módulo da densidade de corrente usando a fórmula acima. Substituindo os valores fornecidos:
Passo 4
Agora, para encontrar a velocidade de deriva (
) dos íons, usamos a relação entre a densidade de corrente e a mobilidade dos íons. A fórmula é:
Onde:
-
é a densidade de íons -
é a carga unitária -
é a velocidade de deriva
Como temos íons positivos e negativos, precisamos considerar a contribuição de ambos.
Passo 5
Calculando o total de íons por metro cúbico. Primeiro, convertendo as densidades de cm³ para m³:
A carga unitária
é
.
Passo 6
Somando as contribuições dos íons positivos e negativos:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, para a parte ©, queremos a corrente que atravessa um quadrado horizontal de aresta 2 m. A área
é:
A corrente
é:
Passo 9
Para a parte (d), se o quadrado fizer um ângulo de
com o plano horizontal, a área efetiva que corta a corrente é:
Então, a corrente será:
Resposta
© A corrente que atravessa o quadrado horizontal é aproximadamente
.
(d) Se o quadrado estiver inclinado em , a corrente será aproximadamente
.
(d) Se o quadrado estiver inclinado em