Campo elétrico de distribuições específicas de carga: devido a (i) uma carga puntiforme, (ii) uma linha infinita de cargas, (iii) um plano infinito de cargas e (iv) próximo a um condutor carregado.
Passo 1
Então, vamos lá! Você me apresentou um exercício sobre Campo Elétrico de Distribuições Específicas de Carga, e precisa entender como calcular o campo elétrico em quatro situações diferentes: (i) uma carga puntiforme, (ii) uma linha infinita de cargas, (iii) um plano infinito de cargas e (iv) próximo a um condutor carregado. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Lei de Coulomb e Lei de Gauss, que são fundamentais para entender como as cargas elétricas geram campos ao seu redor.
Passo 2
(i) Campo elétrico de uma carga puntiforme
Primeiro, vamos falar sobre uma carga puntiforme, que é uma carga concentrada em um único ponto no espaço. Para encontrar o campo elétrico criado por essa carga, usamos a Lei de Coulomb.
A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico $ \vec{E} $ devido a uma carga $ Q $ em um ponto a uma distância $ r $ é dado por:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Passo 3
(ii) Campo elétrico de uma linha infinita de cargas
Agora, vamos considerar uma linha infinita de cargas com densidade linear $ \lambda $ (carga por unidade de comprimento). Para esse caso, é mais fácil usar a Lei de Gauss devido à simetria do problema.
Imagine um cilindro gaussiano coaxial com a linha de carga. A Lei de Gauss nos diz que:
O fluxo elétrico através das laterais do cilindro é $ E \cdot 2\pi r L $, e o fluxo pelas extremidades é zero devido à orientação do campo. A carga encerrada $ Q_{enc} $ é $ \lambda L $, onde $ L $ é o comprimento do cilindro.
Igualando os dois lados, temos:
Simplificando:
Então, o campo elétrico de uma linha infinita de cargas é radial e diminui inversamente com a distância $ r $.
Passo 4
(iii) Campo elétrico de um plano infinito de cargas
Em seguida, consideramos um plano infinito de cargas com densidade superficial $ \sigma $ (carga por unidade de área). Novamente, a Lei de Gauss é a ferramenta ideal aqui.
Escolhemos uma “caixa” gaussiana na forma de um paralelepípedo que atravessa o plano. Devido à simetria, o campo elétrico é perpendicular ao plano e tem a mesma magnitude em ambos os lados.
Aplicando a Lei de Gauss:
O fluxo elétrico total é $ E \cdot 2A $, onde $ A $ é a área de cada face do paralelepípedo. A carga encerrada é $ \sigma A $.
Igualando:
Simplificando:
Portanto, o campo elétrico de um plano infinito de cargas é constante e perpendicular ao plano, não dependendo da distância $ r $.
Passo 5
(iv) Campo elétrico próximo a um condutor carregado
Por fim, vamos olhar para o campo elétrico próximo a um condutor carregado. Em um condutor em equilíbrio eletrostático, as cargas livres se distribuem na superfície, e o campo elétrico dentro do condutor é zero.
Para a região fora do condutor, o campo elétrico é perpendicular à superfície e tem magnitude dada por:
Aqui, $ \sigma $ é a densidade superficial de carga no condutor. A direção do campo elétrico é normal à superfície e aponta para fora se as cargas são positivas, ou para dentro se são negativas.
Resposta
Resumindo, os campos elétricos para as distribuições específicas de carga são:
- Carga puntiforme:
- Linha infinita de cargas:
- Plano infinito de cargas:
- Próximo a um condutor carregado:
Essas expressões mostram como o campo elétrico varia dependendo do tipo de distribuição de carga considerada.