Considere cargas elétricas distribuídas sobre um fio de comprimento l de acordo com a função lambda(l^prime)=lambda0 l^prime. Determine o potencial e o campo elétrico gerados em um ponto qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um fio com comprimento $ l $ onde a carga elétrica está distribuída de maneira que a densidade linear de carga é $ \lambda(l’) = \lambda_0 l’ $. Nosso objetivo é determinar o potencial elétrico $ V $ e o campo elétrico $ \vec{E} $ gerados por esse fio em qualquer ponto no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a integração da contribuição de cada elemento de carga ao potencial e ao campo elétrico total.

Passo 2

Primeiro, vamos definir um sistema de coordenadas para facilitar nossos cálculos. Suponha que o fio esteja alinhado ao longo do eixo $ x $, indo de $ x = 0 $ até $ x = l $. Vamos calcular o potencial e o campo elétrico em um ponto $ P $ que está a uma distância $ y $ do fio, perpendicular a ele, no plano $ y $.

Passo 3

Agora, vamos considerar um elemento diferencial do fio. Seja $ x’ $ a posição de um pequeno segmento do fio, com comprimento diferencial $ dx’ $. A densidade linear de carga nesse ponto é $ \lambda(x’) = \lambda_0 x’ $, onde $ \lambda_0 $ é uma constante.

Passo 4

A carga diferencial nesse segmento é dada por:
dq = lambda(x') , dx' = lambda0 x' , dx'
Isso significa que a carga varia conforme a posição ao longo do fio.

Passo 5

Para encontrar o potencial elétrico $ dV $ gerado por essa carga diferencial no ponto $ P $, usamos a fórmula:
dV
onde $ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $ é a constante eletrostática e $ r $ é a distância entre o elemento de carga $ dq $ e o ponto $ P $.
No nosso caso, usando o teorema de Pitágoras, a distância $ r $ é:
P

Passo 6

Substituindo $ dq $ e $ r $ na expressão de $ dV $, temos:
dq
Para encontrar o potencial total $ V $, integramos de $ x’ = 0 $ até $ x’ = l $:
r
Essa integral pode ser resolvida por substituição, mas para simplificar, vamos reconhecer que:
dV
Portanto:
dV = k , lambda0 x' , dx'raizx'^2 + y^2

Passo 7

Para encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $, lembramos que ele é o gradiente do potencial:
E
No nosso caso, como estamos calculando no eixo $ y $, a componente $ E_y $ será:
E = -nabla V
Vamos derivar $ V $ em relação a $ y $:
y
Então:
Ey
Portanto:
Ey = -dVdy

Resposta

O potencial elétrico no ponto $ P $ é:
P
E a componente do campo elétrico nesse ponto é:
V = k , lambda0 ( raizl^2 + y^2 - y )

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