Considere cargas elétricas distribuídas sobre um fio de comprimento l de acordo com a função
. Determine o potencial e o campo elétrico gerados em um ponto qualquer.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um fio com comprimento $ l $ onde a carga elétrica está distribuída de maneira que a densidade linear de carga é $ \lambda(l’) = \lambda_0 l’ $. Nosso objetivo é determinar o potencial elétrico $ V $ e o campo elétrico $ \vec{E} $ gerados por esse fio em qualquer ponto no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a integração da contribuição de cada elemento de carga ao potencial e ao campo elétrico total.
Passo 2
Primeiro, vamos definir um sistema de coordenadas para facilitar nossos cálculos. Suponha que o fio esteja alinhado ao longo do eixo $ x $, indo de $ x = 0 $ até $ x = l $. Vamos calcular o potencial e o campo elétrico em um ponto $ P $ que está a uma distância $ y $ do fio, perpendicular a ele, no plano $ y $.
Passo 3
Agora, vamos considerar um elemento diferencial do fio. Seja $ x’ $ a posição de um pequeno segmento do fio, com comprimento diferencial $ dx’ $. A densidade linear de carga nesse ponto é $ \lambda(x’) = \lambda_0 x’ $, onde $ \lambda_0 $ é uma constante.
Passo 4
A carga diferencial nesse segmento é dada por:
Isso significa que a carga varia conforme a posição ao longo do fio.
Passo 5
Para encontrar o potencial elétrico $ dV $ gerado por essa carga diferencial no ponto $ P $, usamos a fórmula:
onde $ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $ é a constante eletrostática e $ r $ é a distância entre o elemento de carga $ dq $ e o ponto $ P $.
No nosso caso, usando o teorema de Pitágoras, a distância $ r $ é:
Passo 6
Substituindo $ dq $ e $ r $ na expressão de $ dV $, temos:
Para encontrar o potencial total $ V $, integramos de $ x’ = 0 $ até $ x’ = l $:
Essa integral pode ser resolvida por substituição, mas para simplificar, vamos reconhecer que:
Portanto:
Passo 7
Para encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $, lembramos que ele é o gradiente do potencial:
No nosso caso, como estamos calculando no eixo $ y $, a componente $ E_y $ será:
Vamos derivar $ V $ em relação a $ y $:
Então:
Portanto:
Resposta
O potencial elétrico no ponto $ P $ é:
E a componente do campo elétrico nesse ponto é: