Um cilindro de raio
e comprimento
, contém uma densidade volumétrica de cargas elétricas
. Calcule o potencial e o campo elétrico em pontos situados sobre o eixo de simetria do cilindro, considerando que: (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro com raio $ R $ e comprimento $ L $, onde a densidade volumétrica de cargas elétricas é constante e igual a $ \rho_0 $. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial elétrico $ V $ e o campo elétrico $ E $ em pontos que estão no eixo de simetria desse cilindro. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Coulomb e integrais para somar as contribuições de todas as cargas presentes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nosso sistema de coordenadas. Vamos considerar o eixo de simetria do cilindro como o eixo $ z $. Suponha que o centro do cilindro está na posição $ z = 0 $, então o cilindro se estende de $ z = -\frac{L}{2} $ até $ z = \frac{L}{2} $. Vamos escolher um ponto $ P $ no eixo, a uma distância $ z $ do centro do cilindro, onde queremos calcular o potencial e o campo elétrico.
Passo 3
Agora, vamos pensar em dividir o cilindro em pequenos elementos de volume $ dV $. Cada um desses elementos tem uma carga $ dq = \rho_0 , dV $. Como estamos trabalhando com um cilindro, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas para descrever esses elementos. Em coordenadas cilíndricas, o volume diferencial é dado por:
onde $ r’ $ é a coordenada radial, $ \theta’ $ é o ângulo azimutal, e $ z’ $ é a coordenada ao longo do eixo $ z $.
Passo 4
Como queremos o potencial no eixo $ z $, a distância de cada elemento de carga $ dq $ até o ponto $ P $ é simplesmente $ |z - z’| $. O potencial elétrico devido a esse elemento de carga é dado por:
Substituindo $ dq = \rho_0 , dV $:
Passo 5
Para encontrar o potencial total $ V(z) $ no ponto $ P $, precisamos integrar esse diferencial sobre todo o volume do cilindro. Primeiro, vamos integrar em relação ao ângulo $ \theta’ $ de $ 0 $ a $ 2\pi $:
Passo 6
Integrando em $ \theta’ $:
Simplificando:
Passo 7
Integrando em $ r’ $ de $ 0 $ a $ R $:
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, vamos resolver a integral em $ z’ $. Note que $ |z - z’| $ pode ser simplificado, considerando que estamos fora do cilindro, ou seja, $ z > \frac{L}{2} $. A integral fica:
Portanto, o potencial $ V(z) $ fica:
Passo 9
Agora, para encontrar o campo elétrico $ E(z) $, lembramos que $ E = -\frac{dV}{dz} $. Vamos derivar a expressão do potencial em relação a $ z $:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Resposta
Então, o potencial elétrico no ponto $ P $ sobre o eixo de simetria é dado por:
E o campo elétrico nesse ponto é: