Um cilindro de raio R e comprimento L, contém uma densidade volumétrica de cargas elétricas rho(z^prime). Calcule o potencial e o campo elétrico em pontos situados sobre o eixo de simetria do cilindro, considerando que: (a) rho(z^prime)=rho0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro com raio $ R $ e comprimento $ L $, onde a densidade volumétrica de cargas elétricas é constante e igual a $ \rho_0 $. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial elétrico $ V $ e o campo elétrico $ E $ em pontos que estão no eixo de simetria desse cilindro. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Coulomb e integrais para somar as contribuições de todas as cargas presentes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nosso sistema de coordenadas. Vamos considerar o eixo de simetria do cilindro como o eixo $ z $. Suponha que o centro do cilindro está na posição $ z = 0 $, então o cilindro se estende de $ z = -\frac{L}{2} $ até $ z = \frac{L}{2} $. Vamos escolher um ponto $ P $ no eixo, a uma distância $ z $ do centro do cilindro, onde queremos calcular o potencial e o campo elétrico.

Passo 3

Agora, vamos pensar em dividir o cilindro em pequenos elementos de volume $ dV $. Cada um desses elementos tem uma carga $ dq = \rho_0 , dV $. Como estamos trabalhando com um cilindro, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas para descrever esses elementos. Em coordenadas cilíndricas, o volume diferencial é dado por:
dV
onde $ r’ $ é a coordenada radial, $ \theta’ $ é o ângulo azimutal, e $ z’ $ é a coordenada ao longo do eixo $ z $.

Passo 4

Como queremos o potencial no eixo $ z $, a distância de cada elemento de carga $ dq $ até o ponto $ P $ é simplesmente $ |z - z’| $. O potencial elétrico devido a esse elemento de carga é dado por:
z
Substituindo $ dq = \rho_0 , dV $:
dq

Passo 5

Para encontrar o potencial total $ V(z) $ no ponto $ P $, precisamos integrar esse diferencial sobre todo o volume do cilindro. Primeiro, vamos integrar em relação ao ângulo $ \theta’ $ de $ 0 $ a $ 2\pi $:
V(z)

Passo 6

Integrando em $ \theta’ $:
theta'
Simplificando:
V(z) = integral-L/2^L/2 integral0^R rho0 cdot r' cdot 2pi , dr' , dz'4piepsilon0 |z - z'|

Passo 7

Integrando em $ r’ $ de $ 0 $ a $ R $:
r'
Substituindo de volta:
0

Passo 8

Agora, vamos resolver a integral em $ z’ $. Note que $ |z - z’| $ pode ser simplificado, considerando que estamos fora do cilindro, ou seja, $ z > \frac{L}{2} $. A integral fica:
z'
Portanto, o potencial $ V(z) $ fica:
|z - z'|

Passo 9

Agora, para encontrar o campo elétrico $ E(z) $, lembramos que $ E = -\frac{dV}{dz} $. Vamos derivar a expressão do potencial em relação a $ z $:
E(z)
Calculando a derivada:
E = -dVdz
Simplificando:
z

Resposta

Então, o potencial elétrico no ponto $ P $ sobre o eixo de simetria é dado por:
P
E o campo elétrico nesse ponto é:
V(z) = rho0 R^24epsilon0 ln(z + L/2z - L/2)

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