Considere cargas elétricas distribuídas sobre um fio de comprimento l de acordo com a função lambda(l^prime)=lambda0 l^prime 2. Determine o potencial e o campo elétrico gerados em um ponto qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o potencial elétrico e o campo elétrico gerados por um fio carregado. Esse fio tem comprimento $ l $ e a carga está distribuída de acordo com a função $ \lambda(l’) = \lambda_0 l’^2 $, onde $ \lambda_0 $ é uma constante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Eletrostática, especificamente integrais sobre distribuições de carga para calcular o potencial e o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a distribuição de carga $ \lambda(l’) = \lambda_0 l’^2 $. Aqui, $ \lambda(l’) $ é a densidade linear de carga, ou seja, a carga por unidade de comprimento no ponto $ l’ $ ao longo do fio. Como ela depende de $ l’^2 $, sabemos que a carga aumenta com o quadrado da distância ao longo do fio.

Passo 3

Para calcular o potencial elétrico $ V $ em um ponto qualquer devido a uma distribuição contínua de carga, usamos a fórmula:
V
Onde:
  • $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
  • $ dq $ é um elemento de carga,
  • $ r $ é a distância do elemento de carga ao ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 4

Vamos definir um sistema de coordenadas. Suponha que o fio esteja alinhado no eixo $ x $, indo de $ x = 0 $ até $ x = l $, e queremos calcular o potencial no ponto $ P $ a uma distância $ y $ perpendicular ao centro do fio.

Passo 5

Expressamos $ dq $ em termos de $ \lambda(l’) $ e $ dl’ $:
dq

Passo 6

A distância $ r $ do elemento de carga $ dq $ ao ponto $ P $ é dada por:
r

Passo 7

Substituindo $ dq $ e $ r $ na expressão do potencial:
dq

Passo 8

Vamos resolver a integral:
V = lambda04piepsilon0 integral0^l l'^2raizl'^2 + y^2 , dl'
Fazendo a substituição $ u = l’^2 + y^2 $, $ du = 2l’ , dl’ $, mas aqui a integral pode ser resolvida diretamente:
u = l'^2 + y^2

Passo 9

Aplicando os limites de integração de $ 0 $ a $ l $:
0
Simplificando:
l

Passo 10

Agora, para encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $, sabemos que ele é relacionado ao potencial pela relação:
E
Como estamos considerando simetria, podemos calcular apenas a componente no sentido perpendicular ao fio:
E = -nabla V

Passo 11

Calculando a derivada do potencial em relação a $ y $:
y
Depois de calcular a derivada, teremos a expressão para o campo elétrico $ E_y $.

Resposta

O potencial elétrico no ponto a uma distância $ y $ do fio é:
y
E o campo elétrico nessa posição é dado por:
V = lambda08piepsilon0 ( l raizl^2 + y^2 - y^2 ln ( l + raizl^2 + y^2y ) )

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