Considere cargas elétricas distribuídas sobre um fio de comprimento l de acordo com a função
. Determine o potencial e o campo elétrico gerados em um ponto qualquer.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o potencial elétrico e o campo elétrico gerados por um fio carregado. Esse fio tem comprimento $ l $ e a carga está distribuída de acordo com a função $ \lambda(l’) = \lambda_0 l’^2 $, onde $ \lambda_0 $ é uma constante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Eletrostática, especificamente integrais sobre distribuições de carga para calcular o potencial e o campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a distribuição de carga $ \lambda(l’) = \lambda_0 l’^2 $. Aqui, $ \lambda(l’) $ é a densidade linear de carga, ou seja, a carga por unidade de comprimento no ponto $ l’ $ ao longo do fio. Como ela depende de $ l’^2 $, sabemos que a carga aumenta com o quadrado da distância ao longo do fio.
Passo 3
Para calcular o potencial elétrico $ V $ em um ponto qualquer devido a uma distribuição contínua de carga, usamos a fórmula:
Onde:
- $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ dq $ é um elemento de carga,
- $ r $ é a distância do elemento de carga ao ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 4
Vamos definir um sistema de coordenadas. Suponha que o fio esteja alinhado no eixo $ x $, indo de $ x = 0 $ até $ x = l $, e queremos calcular o potencial no ponto $ P $ a uma distância $ y $ perpendicular ao centro do fio.
Passo 5
Expressamos $ dq $ em termos de $ \lambda(l’) $ e $ dl’ $:
Passo 6
A distância $ r $ do elemento de carga $ dq $ ao ponto $ P $ é dada por:
Passo 7
Substituindo $ dq $ e $ r $ na expressão do potencial:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição $ u = l’^2 + y^2 $, $ du = 2l’ , dl’ $, mas aqui a integral pode ser resolvida diretamente:
Passo 9
Aplicando os limites de integração de $ 0 $ a $ l $:
Simplificando:
Passo 10
Agora, para encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $, sabemos que ele é relacionado ao potencial pela relação:
Como estamos considerando simetria, podemos calcular apenas a componente no sentido perpendicular ao fio:
Passo 11
Calculando a derivada do potencial em relação a $ y $:
Depois de calcular a derivada, teremos a expressão para o campo elétrico $ E_y $.
Resposta
O potencial elétrico no ponto a uma distância $ y $ do fio é:
E o campo elétrico nessa posição é dado por: