Um campo elétrico no espaço livre é . Encontre a carga total contida no interior de uma esfera de raio igual a 3 m , centrada na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo elétrico dado por no espaço livre. O exercício pede para encontrar a carga total dentro de uma esfera de raio 3 metros, centrada na origem. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e calcular a divergência do campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo elétrico. A divergência nos dá uma medida de quanto o campo elétrico está “saindo” de um ponto. Matematicamente, para um campo , a divergência é:
No nosso caso, o campo elétrico só tem componente na direção , então:

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Então,
Portanto, a divergência do campo elétrico é:

Passo 4

Agora, para encontrar a carga total dentro da esfera, usamos a Lei de Gauss na forma integral:
Substituindo a divergência que encontramos:
Então, precisamos calcular a integral de sobre o volume da esfera.

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, , onde é o ângulo polar. Assim, . O elemento de volume em coordenadas esféricas é .
A integral fica:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
    Faço uma substituição , então . A integral se torna:
  1. Integral em :

Passo 7

Agora, juntando tudo:
Simplificando:

Resposta

A carga total contida no interior da esfera é Coulombs.

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