Um campo elétrico no espaço livre é
. Encontre a carga total contida no interior de uma esfera de raio igual a 3 m , centrada na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo elétrico dado por
no espaço livre. O exercício pede para encontrar a carga total dentro de uma esfera de raio 3 metros, centrada na origem. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e calcular a divergência do campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo elétrico. A divergência nos dá uma medida de quanto o campo elétrico está “saindo” de um ponto. Matematicamente, para um campo
, a divergência é:
No nosso caso, o campo elétrico só tem componente na direção
, então:
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Então,
Portanto, a divergência do campo elétrico é:
Passo 4
Agora, para encontrar a carga total
dentro da esfera, usamos a Lei de Gauss na forma integral:
Substituindo a divergência que encontramos:
Então, precisamos calcular a integral de
sobre o volume da esfera.
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas,
, onde
é o ângulo polar. Assim,
. O elemento de volume em coordenadas esféricas é
.
A integral fica:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente:
- Integral em
:
- Integral em
:
Faço uma substituição, então . A integral se torna:
- Integral em
:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
A carga total contida no interior da esfera é
Coulombs.