Um campo elétrico no espaço livre é E=5 z^3 / varepsilon0 az V / m. Encontre a carga total contida no interior de uma esfera de raio igual a 3 m , centrada na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo elétrico dado por no espaço livre. O exercício pede para encontrar a carga total dentro de uma esfera de raio 3 metros, centrada na origem. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e calcular a divergência do campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo elétrico. A divergência nos dá uma medida de quanto o campo elétrico está “saindo” de um ponto. Matematicamente, para um campo nabla cdot E = partial Expartial x + partial Eypartial y + partial Ezpartial z , a divergência é:
nabla cdot E = partial Ezpartial z
No nosso caso, o campo elétrico só tem componente na direção , então:

Passo 3

Vamos calcular a derivada de Ez = 5 z^3varepsilon0 em relação a partial Ezpartial z = 5 cdot 3 z^2varepsilon0 = 15 z^2varepsilon0 :
nabla cdot E = 15 z^2varepsilon0
Então,
Portanto, a divergência do campo elétrico é:

Passo 4

Agora, para encontrar a carga total Q = varepsilon0 integral (nabla cdot E) , dV dentro da esfera, usamos a Lei de Gauss na forma integral:
Q = varepsilon0 integral 15 z^2varepsilon0 , dV = 15 integral z^2 , dV
Substituindo a divergência que encontramos:
Então, precisamos calcular a integral de sobre o volume da esfera.

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, Q = 15 integral0^3 integral0^pi integral0^2pi r^2 cos^2(theta) cdot r^2 sin(theta) , dphi , dtheta , dr , onde Q = 15 integral0^3 r^4 , dr cdot integral0^pi cos^2(theta) sin(theta) , dtheta cdot integral0^2pi dphi é o ângulo polar. Assim, . O elemento de volume em coordenadas esféricas é .
A integral fica:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Integral em integral0^3 r^4 , dr = [ r^55 ]0^3 = 3^55 = 2435 :
integral0^pi cos^2(theta) sin(theta) , dtheta = integral1^-1 u^2 (-du) = integral-1^1 u^2 , du = 23
  1. Integral em integral0^2pi dphi = 2pi :
    Faço uma substituição , então . A integral se torna:
  1. Integral em :

Passo 7

Agora, juntando tudo:
Q = 15 cdot 2435 cdot 23 cdot 2pi = 15 cdot 48.6 cdot 2pi = 15 cdot 97.2pi = 1458pi
Simplificando:
Q = 972pi , C

Resposta

A carga total contida no interior da esfera é Coulombs.

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