Para uma distribuição esférica de cargas dada por
rhov= rhoo(a^2-r^2), & ra
a) Determine E e V para r>=a

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de carga esférica onde a densidade de carga é dada por:
rhov= rhoo(a^2-r^2), & ra
Queremos determinar o campo elétrico e o potencial elétrico para pontos fora da esfera, ou seja, para . Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss para encontrar e depois integrar para encontrar .

Passo 2

Vamos começar encontrando o campo elétrico oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 para . A Lei de Gauss é uma ferramenta poderosa para isso. Ela nos diz que:
onde é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 3

Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio E cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0 . Devido à simetria, o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície. A área da superfície é , então a equação da Lei de Gauss fica:

Passo 4

Agora precisamos calcular rhov= rhoo(a^2-r^2) , a carga total dentro do raio Qenc = integral0^a rhoo(a^2 - r^2) cdot 4pi r^2 dr . A densidade de carga é:
Então, a carga total é a integral dessa densidade sobre o volume da esfera de raio :

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Qenc = 4pi rhoo integral0^a (a^2r^2 - r^4) dr = 4pi rhoo [ a^2r^33 - r^55 ]0^a
Substituindo os limites:
Qenc = 4pi rhoo ( a^53 - a^55 ) = 4pi rhoo ( 2a^515 ) = 8pi rhoo a^515

Passo 6

Agora, substituímos E cdot 4pi r^2 = 8pi rhoo a^515 varepsilon0 na equação da Lei de Gauss para encontrar E = 8pi rhoo a^515 varepsilon0 cdot 4pi r^2 = 2 rhoo a^515 varepsilon0 r^2 :
Isolando :

Passo 7

Agora, vamos encontrar o potencial elétrico V(r) = -integralinfty^r E(r') dr' para V(r) = -integralinfty^r 2 rhoo a^515 varepsilon0 r'^2 dr' = 2 rhoo a^515 varepsilon0 ( 1r ) . Sabemos que o potencial é dado por:
Substituindo que encontramos:

Resposta

Para E = 2 rhoo a^515 varepsilon0 r^2 , o campo elétrico e o potencial elétrico são dados por:
V = 2 rhoo a^515 varepsilon0 r

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