Para uma distribuição esférica de cargas dada por
a) Determine E e V para
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de carga esférica onde a densidade de carga é dada por:
Queremos determinar o campo elétrico
e o potencial elétrico
para pontos fora da esfera, ou seja, para
. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss para encontrar
e depois integrar para encontrar
.
Passo 2
Vamos começar encontrando o campo elétrico
para
. A Lei de Gauss é uma ferramenta poderosa para isso. Ela nos diz que:
onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Passo 3
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
. Devido à simetria, o campo elétrico
é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície. A área da superfície é
, então a equação da Lei de Gauss fica:
Passo 4
Agora precisamos calcular
, a carga total dentro do raio
. A densidade de carga é:
Então, a carga total é a integral dessa densidade sobre o volume da esfera de raio
:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Substituindo os limites:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação da Lei de Gauss para encontrar
:
Isolando
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o potencial elétrico
para
. Sabemos que o potencial é dado por:
Substituindo
que encontramos:
Resposta
Para
, o campo elétrico e o potencial elétrico são dados por: