As cargas +Q e +3 Q estão separadas por uma distância de 2 m . Uma terceira carga está localizada em uma posição tal que o sistema eletrostático está em equilíbrio. Determine a localização com o valor da terceira carga em termos de Q.

Passo 1

Então, temos um exercício que fala sobre cargas elétricas e equilíbrio eletrostático. Especificamente, temos duas cargas positivas, uma de valor e outra de , separadas por 2 metros. Queremos encontrar onde colocar uma terceira carga para que todo o sistema fique em equilíbrio, ou seja, sem forças resultantes agindo sobre ela. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que diz que a força entre duas cargas elétricas é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A fórmula é:
F = ke |q1 cdot q2|r^2
onde é a força, é a constante eletrostática ( ²²), e são as cargas, e é a distância entre elas.

Passo 3

Vamos posicionar as cargas e em uma linha reta, de forma que fique na posição e na posição . Queremos encontrar a posição da terceira carga onde a força total sobre ela seja zero.

Passo 4

Para que o sistema esteja em equilíbrio, as forças exercidas pelas duas cargas existentes sobre a terceira carga devem ser iguais em módulo e opostas em direção. Ou seja:
F1 = F2
onde é a força exercida por sobre e é a força exercida por sobre .

Passo 5

Aplicando a Lei de Coulomb para cada força:
F1 = ke |Q cdot q|x^2
F2 = ke |3Q cdot q|(2 - x)^2
Como ke |Q cdot q|x^2 = ke |3Q cdot q|(2 - x)^2 , podemos igualar as expressões:

Passo 6

Podemos simplificar a equação cancelando 1x^2 = 3(2 - x)^2 e dos dois lados:

Passo 7

Resolvendo a equação para (2 - x)^2 = 3x^2 :
4 - 4x + x^2 = 3x^2
4 - 4x = 2x^2
2x^2 + 4x - 4 = 0
x^2 + 2x - 2 = 0

Passo 8

Utilizando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a :
x = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2)2 cdot 1
onde x = -2 pm raiz4 + 82 , x = -2 pm raiz122 , e x = -2 pm 2raiz32 .
x = -1 pm raiz3

Passo 9

Como a distância não pode ser negativa, descartamos a solução x = -1 + raiz3 , metros . Portanto, a posição da terceira carga é:

Passo 10

Agora, para encontrar o valor da terceira carga |q|( -1 + raiz3 )^2 = 3|q|(2 - ( -1 + raiz3 ))^2 , lembramos que, para que haja equilíbrio, as forças devem ser iguais e opostas. Considerando a direção das forças, percebemos que deve ser negativa para que as forças de repulsão e atração se equilibrassem. Calculando o valor:
Simplificando, obtemos que .

Resposta

A terceira carga deve ser e deve ser posicionada a uma distância de metros em relação à carga .

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