Para uma distribuição esférica de cargas dada por
b) Determine E e V para

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre uma distribuição esférica de cargas. A gente precisa encontrar o campo elétrico e o potencial elétrico para pontos dentro da esfera, ou seja, quando . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e conceitos básicos de potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o campo elétrico dentro da esfera. Para isso, vamos aplicar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície gaussiana. A gente escolhe uma superfície esférica de raio .

Passo 3

Calculamos a carga total dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é dada por:
Então, a carga total é:
Integrando:

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Como é radial e constante na superfície gaussiana:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar o potencial elétrico , lembramos que ele está relacionado ao campo elétrico pela relação:
Então, integramos para encontrar :
Substituindo :
Integrando:

Passo 6

Determinar a constante . Normalmente, escolhemos para facilitar. Assim:

Passo 7

Substituindo na expressão de :

Resposta

Para , o campo elétrico e o potencial elétrico são dados por:

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