Para uma distribuição esférica de cargas dada por
rhov= rhoo(a^2-r^2), & ra
b) Determine E e V para r<=a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre uma distribuição esférica de cargas. A gente precisa encontrar o campo elétrico e o potencial elétrico para pontos dentro da esfera, ou seja, quando . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e conceitos básicos de potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o campo elétrico dentro da esfera. Para isso, vamos aplicar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície gaussiana. A gente escolhe uma superfície esférica de raio .

Passo 3

Calculamos a carga total rhov = rho0 (a^2 - r^2) dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é dada por:
Qenc = integral0^r rho0 (a^2 - r'^2) cdot 4pi r'^2 , dr'
Então, a carga total é:
Qenc = 4pi rho0 ( a^2 r^33 - r^55 )
Integrando:

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Como E cdot 4pi r^2 = 4pi rho0 ( a^2 r^33 - r^55 )varepsilon0 é radial e constante na superfície gaussiana:
E = rho0varepsilon0 ( a^2 r3 - r^35 )
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar o potencial elétrico E = -dVdr , lembramos que ele está relacionado ao campo elétrico pela relação:
V(r) = -integral E , dr + C
Então, integramos V(r) = -integral ( rho0varepsilon0 ( a^2 r3 - r^35 ) ) dr + C para encontrar V(r) = -rho0varepsilon0 ( a^2 r^26 - r^420 ) + C :
Substituindo :
Integrando:

Passo 6

Determinar a constante 0 = -rho0varepsilon0 ( a^46 - a^420 ) + C . Normalmente, escolhemos C = rho0 a^4varepsilon0 ( 16 - 120 ) = rho0 a^4varepsilon0 cdot 760 para facilitar. Assim:

Passo 7

Substituindo V(r) = rho0varepsilon0 ( a^460 - a^2 r^26 + r^420 ) na expressão de :

Resposta

Para E(r) = rho0varepsilon0 ( a^2 r3 - r^35 ) , o campo elétrico e o potencial elétrico são dados por:
V(r) = rho0varepsilon0 ( a^460 - a^2 r^26 + r^420 )

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