O campo elétrico produzido por certa configuração esférica finita é dado por
sendo a uma constante positiva diferente de 3 . Calcule a densidade volumétrica de carga que produz este campo e o potencial produzido por esta configuração em um ponto r genérico.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática onde precisamos encontrar duas coisas:
- Densidade volumétrica de carga, que é basicamente como a carga está distribuída dentro de uma certa região.
- Potencial elétrico produzido por essa configuração de carga em um ponto qualquer
.
Para isso, vamos usar conceitos do campo elétrico e Lei de Gauss, além de integrais para calcular o potencial. Vamos por partes para entender cada etapa direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão do campo elétrico dado:
Aqui,
é uma carga,
é a permissividade do vácuo,
é o vetor posição e
é uma constante positiva diferente de 3. Queremos descobrir qual distribuição de carga
produz esse campo elétrico.
Passo 3
Para encontrar a densidade de carga
, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga encerrada:
A divergência do campo elétrico nos dá a densidade de carga.
Passo 4
Calculando a divergência de
:
Em coordenadas esféricas, a divergência de um campo radial
é:
Vamos aplicar isso ao nosso campo elétrico.
Passo 5
Primeiro, identificamos
:
Agora, calculamos
:
Derivamos em relação a
:
Passo 6
Agora, aplicamos a divergência:
De acordo com a Lei de Gauss:
Então,
Passo 7
Isolando
:
Então, essa é a densidade volumétrica de carga que produz o campo elétrico dado.
Passo 8
Agora, vamos calcular o potencial elétrico
produzido por esse campo. Sabemos que o potencial está relacionado ao campo elétrico pela relação:
Em coordenadas esféricas, para um campo radial, essa relação se traduz em:
Passo 9
Integrando para encontrar
:
Então,
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Supondo que o potencial tende a zero quando
tende ao infinito,
.
Resposta
A densidade volumétrica de carga é
e o potencial elétrico produzido pela configuração é
Exercícios relacionados
Seja a função vetorial
.
(a) Calcule a divergência desta função, i.e., .
(b) Calcule na superfície de uma esfera de raio
centrada na origem de coordenadas.
© Use o teorema da divergência no resultado anterior e explique a origem da aparente contradição entre os resultados (a) e (b).
(d) Usando a função delta de Dirac, escreva uma expressão correta para .
(a) Calcule a divergência desta função, i.e.,
(b) Calcule
© Use o teorema da divergência no resultado anterior e explique a origem da aparente contradição entre os resultados (a) e (b).
(d) Usando a função delta de Dirac, escreva uma expressão correta para
Um dipolo elétrico formado por duas cargas de
, separadas por uma distância de
é submetido a um campo elétrico de
. Calcule a energia potencial e o módulo do torque exercido pelo campo elétrico sobre o dipolo se o campo é:
paralelo;
perpendicular e
anti-paralelo ao campo elétrico.
Qual a amplitude da diferença de potencial no resistor.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Se for, encontre a solução.