O campo elétrico produzido por certa configuração esférica finita é dado por
E=q4 pi epsilon0 rr^a
sendo a uma constante positiva diferente de 3 . Calcule a densidade volumétrica de carga que produz este campo e o potencial produzido por esta configuração em um ponto r genérico.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática onde precisamos encontrar duas coisas:
  1. Densidade volumétrica de carga, que é basicamente como a carga está distribuída dentro de uma certa região.
  2. Potencial elétrico produzido por essa configuração de carga em um ponto qualquer .
Para isso, vamos usar conceitos do campo elétrico e Lei de Gauss, além de integrais para calcular o potencial. Vamos por partes para entender cada etapa direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão do campo elétrico dado:
E = q4 pi epsilon0 rr^a
Aqui, é uma carga, é a permissividade do vácuo, é o vetor posição e é uma constante positiva diferente de 3. Queremos descobrir qual distribuição de carga produz esse campo elétrico.

Passo 3

Para encontrar a densidade de carga nabla cdot E = rhoepsilon0 , vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga encerrada:
A divergência do campo elétrico nos dá a densidade de carga.

Passo 4

Calculando a divergência de E = q4 pi epsilon0 rr^a :
nabla cdot E = 1r^2 ddr ( r^2 E(r) )
Em coordenadas esféricas, a divergência de um campo radial é:
Vamos aplicar isso ao nosso campo elétrico.

Passo 5

Primeiro, identificamos E(r) = q4 pi epsilon0 1r^a :
r^2 E(r) = q4 pi epsilon0 r^2 - a
Agora, calculamos ddr ( r^2 E(r) ) = q4 pi epsilon0 (2 - a) r^1 - a :
Derivamos em relação a :

Passo 6

Agora, aplicamos a divergência:
nabla cdot E = 1r^2 cdot q4 pi epsilon0 (2 - a) r^1 - a = q (2 - a)4 pi epsilon0 r^a +1
De acordo com a Lei de Gauss:
nabla cdot E = rhoepsilon0
Então,
rhoepsilon0 = q (2 - a)4 pi epsilon0 r^a +1

Passo 7

Isolando rho(r) = q (2 - a)4 pi r^a +1 :
Então, essa é a densidade volumétrica de carga que produz o campo elétrico dado.

Passo 8

Agora, vamos calcular o potencial elétrico E = -nabla V produzido por esse campo. Sabemos que o potencial está relacionado ao campo elétrico pela relação:
E(r) = -dVdr
Em coordenadas esféricas, para um campo radial, essa relação se traduz em:

Passo 9

Integrando para encontrar E(r) = q4 pi epsilon0 1r^a :
dVdr = -E(r) = -q4 pi epsilon0 1r^a
Então,
V(r) = integral -q4 pi epsilon0 1r^a dr = q4 pi epsilon0 cdot 1(a -1) r^a -1 + C
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Supondo que o potencial tende a zero quando tende ao infinito, .

Resposta

A densidade volumétrica de carga é
rho(r) = q (2 - a)4 pi r^a +1
e o potencial elétrico produzido pela configuração é
V(r) = q4 pi epsilon0 (a -1) r^a -1

Exercícios relacionados