O campo elétrico produzido por certa configuração esférica finita é dado por
sendo a uma constante positiva diferente de 3 . Calcule a densidade volumétrica de carga que produz este campo e o potencial produzido por esta configuração em um ponto r genérico.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática onde precisamos encontrar duas coisas:
  1. Densidade volumétrica de carga, que é basicamente como a carga está distribuída dentro de uma certa região.
  2. Potencial elétrico produzido por essa configuração de carga em um ponto qualquer .
Para isso, vamos usar conceitos do campo elétrico e Lei de Gauss, além de integrais para calcular o potencial. Vamos por partes para entender cada etapa direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão do campo elétrico dado:
Aqui, é uma carga, é a permissividade do vácuo, é o vetor posição e é uma constante positiva diferente de 3. Queremos descobrir qual distribuição de carga produz esse campo elétrico.

Passo 3

Para encontrar a densidade de carga , vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga encerrada:
A divergência do campo elétrico nos dá a densidade de carga.

Passo 4

Calculando a divergência de :
Em coordenadas esféricas, a divergência de um campo radial é:
Vamos aplicar isso ao nosso campo elétrico.

Passo 5

Primeiro, identificamos :
Agora, calculamos :
Derivamos em relação a :

Passo 6

Agora, aplicamos a divergência:
De acordo com a Lei de Gauss:
Então,

Passo 7

Isolando :
Então, essa é a densidade volumétrica de carga que produz o campo elétrico dado.

Passo 8

Agora, vamos calcular o potencial elétrico produzido por esse campo. Sabemos que o potencial está relacionado ao campo elétrico pela relação:
Em coordenadas esféricas, para um campo radial, essa relação se traduz em:

Passo 9

Integrando para encontrar :
Então,
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Supondo que o potencial tende a zero quando tende ao infinito, .

Resposta

A densidade volumétrica de carga é
e o potencial elétrico produzido pela configuração é

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(a) Calcule a divergência desta função, i.e., .
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