Seja a função vetorial
.
(a) Calcule a divergência desta função, i.e.,
.
(b) Calcule
na superfície de uma esfera de raio
centrada na origem de coordenadas.
© Use o teorema da divergência no resultado anterior e explique a origem da aparente contradição entre os resultados (a) e (b).
(d) Usando a função delta de Dirac, escreva uma expressão correta para
.
(a) Calcule a divergência desta função, i.e.,
(b) Calcule
© Use o teorema da divergência no resultado anterior e explique a origem da aparente contradição entre os resultados (a) e (b).
(d) Usando a função delta de Dirac, escreva uma expressão correta para
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma função vetorial
e precisamos resolver quatro partes:
a) Calcular a divergência dessa função.
b) Calcular a integral de superfície dessa função numa esfera de raio .
c) Usar o teorema da divergência para explicar uma possível contradição entre (a) e (b).
d) Utilizar a função delta de Dirac para escrever uma expressão correta para a divergência de .
b) Calcular a integral de superfície dessa função numa esfera de raio
c) Usar o teorema da divergência para explicar uma possível contradição entre (a) e (b).
d) Utilizar a função delta de Dirac para escrever uma expressão correta para a divergência de
Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial como divergência, integral de superfície, teorema da divergência e a função delta de Dirac. Agora, vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte a) Calcular a divergência da função
.
Primeiro, vamos lembrar que a divergência em coordenadas esféricas para um campo radial como esse é dada por:
Aqui,
. Vamos calcular:
Então,
Portanto,
Passo 3
Parte b) Calcular
na superfície de uma esfera de raio
centrada na origem.
Aqui, vamos usar a integral de superfície de um campo vetorial radial. A integral fica:
A integral
sobre toda a esfera dá
.
Portanto,
Passo 4
Parte c) Usar o teorema da divergência no resultado anterior e explicar a origem da aparente contradição entre os resultados (a) e (b).
O teorema da divergência afirma que:
Da parte (a), vimos que
. Assim, esperamos que a integral de volume também seja zero. Mas na parte (b), a integral de superfície deu
, n��o zero.
Isso parece uma contradição, certo? A origem disso é que a função
tem uma singularidade na origem (
). O teorema da divergência assume que o campo é bem definido e suave dentro do volume. Como há uma singularidade, precisamos considerar uma contribuição extra nesse ponto, que será tratada usando a função delta de Dirac.
Passo 5
Parte d) Usando a função delta de Dirac, escrever uma expressão correta para
.
Para levar em conta a singularidade na origem, adicionamos um termo com a função delta de Dirac. A divergência correta é:
Aqui,
é a função delta de Dirac tridimensional, que é zero em todos os pontos exceto na origem e integra para 1 sobre todo o espaço. Assim, quando integrarmos essa divergência sobre um volume que inclui a origem, teremos:
Isso resolve a contradição observada na parte ©, confirmando que a divergência inclui uma contribuição pontual na origem.
Resposta
(a)
(b)
© A contradição surge porque a divergência aparentemente é zero, mas a integral de superfície é
devido a uma singularidade na origem.
(d)