Seja a função vetorial C=1r^2 r.
(a) Calcule a divergência desta função, i.e., nabla cdot C.
(b) Calcule oint C cdot d a na superfície de uma esfera de raio r centrada na origem de coordenadas.
© Use o teorema da divergência no resultado anterior e explique a origem da aparente contradição entre os resultados (a) e (b).
(d) Usando a função delta de Dirac, escreva uma expressão correta para nabla cdot C.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma função vetorial C = 1r^2 r e precisamos resolver quatro partes:
a) Calcular a divergência dessa função.
b) Calcular a integral de superfície dessa função numa esfera de raio r.
c) Usar o teorema da divergência para explicar uma possível contradição entre (a) e (b).
d) Utilizar a função delta de Dirac para escrever uma expressão correta para a divergência de C.
Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial como divergência, integral de superfície, teorema da divergência e a função delta de Dirac. Agora, vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte a) Calcular a divergência da função C = 1r^2 r.
Primeiro, vamos lembrar que a divergência em coordenadas esféricas para um campo radial como esse é dada por:
nabla cdot C = 1r^2 partialpartial r ( r^2 Cr )
Aqui, Cr = 1r^2. Vamos calcular:
r^2 Cr = r^2 cdot 1r^2 = 1
Então,
partialpartial r (1) = 0
Portanto,
nabla cdot C = 1r^2 cdot 0 = 0

Passo 3

Parte b) Calcular oint C cdot da na superfície de uma esfera de raio r centrada na origem.
Aqui, vamos usar a integral de superfície de um campo vetorial radial. A integral fica:
oint C cdot da = oint 1r^2 r cdot (r^2 sintheta dtheta dphi r) = oint sintheta dtheta dphi
A integral oint sintheta dtheta dphi sobre toda a esfera dá 4pi.
Portanto,
oint C cdot da = 4pi

Passo 4

Parte c) Usar o teorema da divergência no resultado anterior e explicar a origem da aparente contradição entre os resultados (a) e (b).
O teorema da divergência afirma que:
oint C cdot da = integral (nabla cdot C) dV
Da parte (a), vimos que nabla cdot C = 0. Assim, esperamos que a integral de volume também seja zero. Mas na parte (b), a integral de superfície deu 4pi, n��o zero.
Isso parece uma contradição, certo? A origem disso é que a função C tem uma singularidade na origem ( r=0). O teorema da divergência assume que o campo é bem definido e suave dentro do volume. Como há uma singularidade, precisamos considerar uma contribuição extra nesse ponto, que será tratada usando a função delta de Dirac.

Passo 5

Parte d) Usando a função delta de Dirac, escrever uma expressão correta para nabla cdot C.
Para levar em conta a singularidade na origem, adicionamos um termo com a função delta de Dirac. A divergência correta é:
nabla cdot C = 4pi de
Aqui, de é a função delta de Dirac tridimensional, que é zero em todos os pontos exceto na origem e integra para 1 sobre todo o espaço. Assim, quando integrarmos essa divergência sobre um volume que inclui a origem, teremos:
integral nabla cdot C , dV = 4pi
Isso resolve a contradição observada na parte ©, confirmando que a divergência inclui uma contribuição pontual na origem.

Resposta

(a) nabla cdot C = 0
(b) oint C cdot da = 4pi
© A contradição surge porque a divergência aparentemente é zero, mas a integral de superfície é 4pi devido a uma singularidade na origem.
(d) nabla cdot C = 4pi de

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