Seja a função vetorial .
(a) Calcule a divergência desta função, i.e., .
(b) Calcule na superfície de uma esfera de raio centrada na origem de coordenadas.
© Use o teorema da divergência no resultado anterior e explique a origem da aparente contradição entre os resultados (a) e (b).
(d) Usando a função delta de Dirac, escreva uma expressão correta para .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma função vetorial e precisamos resolver quatro partes:
a) Calcular a divergência dessa função.
b) Calcular a integral de superfície dessa função numa esfera de raio .
c) Usar o teorema da divergência para explicar uma possível contradição entre (a) e (b).
d) Utilizar a função delta de Dirac para escrever uma expressão correta para a divergência de .
Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial como divergência, integral de superfície, teorema da divergência e a função delta de Dirac. Agora, vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte a) Calcular a divergência da função .
Primeiro, vamos lembrar que a divergência em coordenadas esféricas para um campo radial como esse é dada por:
Aqui, . Vamos calcular:
Então,
Portanto,

Passo 3

Parte b) Calcular na superfície de uma esfera de raio centrada na origem.
Aqui, vamos usar a integral de superfície de um campo vetorial radial. A integral fica:
A integral sobre toda a esfera dá .
Portanto,

Passo 4

Parte c) Usar o teorema da divergência no resultado anterior e explicar a origem da aparente contradição entre os resultados (a) e (b).
O teorema da divergência afirma que:
Da parte (a), vimos que . Assim, esperamos que a integral de volume também seja zero. Mas na parte (b), a integral de superfície deu , n��o zero.
Isso parece uma contradição, certo? A origem disso é que a função tem uma singularidade na origem ( ). O teorema da divergência assume que o campo é bem definido e suave dentro do volume. Como há uma singularidade, precisamos considerar uma contribuição extra nesse ponto, que será tratada usando a função delta de Dirac.

Passo 5

Parte d) Usando a função delta de Dirac, escrever uma expressão correta para .
Para levar em conta a singularidade na origem, adicionamos um termo com a função delta de Dirac. A divergência correta é:
Aqui, é a função delta de Dirac tridimensional, que é zero em todos os pontos exceto na origem e integra para 1 sobre todo o espaço. Assim, quando integrarmos essa divergência sobre um volume que inclui a origem, teremos:
Isso resolve a contradição observada na parte ©, confirmando que a divergência inclui uma contribuição pontual na origem.

Resposta

(a)
(b)
© A contradição surge porque a divergência aparentemente é zero, mas a integral de superfície é devido a uma singularidade na origem.
(d)

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