O campo elétrico numa região do espaço é dado pela expressão (unidades SI) E=4 x y imath+(2 x^2+8 y z^3) jmath+12 y^2 z^2 widehatk.
Calcule o potencial eletrostático (defina V=0 na origem).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o potencial eletrostático E = 4xy, imath + (2x^2 + 8 yz^3) jmath + 12 y^2 z^2 widehatk em uma região onde o campo elétrico é dado por:
Vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente a relação entre o campo elétrico e o potencial eletrostático. Para isso, vamos precisar integrar os componentes do campo elétrico para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = -nabla V está relacionado ao potencial eletrostático Ex = -partial Vpartial x, Ey = -partial Vpartial y, Ez = -partial Vpartial z pela relação:
Isso significa que cada componente de é igual ao negativo da derivada parcial de em relação àquela coordenada. Portanto, podemos escrever:

Passo 3

Vamos encontrar Ex = 4xy = -partial Vpartial x integrando cada componente. Começamos com V = -integral 4xy , dx = -2x^2y + f(y, z) :
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 4

Agora, usamos Ey = 2x^2 + 8 yz^3 = -partial Vpartial y :
2x^2 + 8 yz^3 = -partialpartial y (-2x^2y + f(y, z)) = 2x^2 - partial fpartial y
Substituindo 2x^2 + 8 yz^3 = 2x^2 - partial fpartial y implies partial fpartial y = -8 yz^3 que já encontramos:
f(y, z) = -4 y^2 z^3 + g(z)
Resolvendo para :
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Finalmente, usamos Ez = 12 y^2 z^2 = -partial Vpartial z :
12 y^2 z^2 = -partialpartial z (-2x^2y -4 y^2 z^3 + g(z)) = -(-12 y^2 z^2 + g'(z)) = 12 y^2 z^2 - g'(z)
Substituindo 12 y^2 z^2 = 12 y^2 z^2 - g'(z) implies g'(z) = 0 :
Resolvendo para :
Então, é uma constante. Como definimos na origem, essa constante será zero.

Resposta

O potencial eletrostático é dado por:
V = -2x^2y -4 y^2 z^3

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