O campo elétrico numa região do espaço é dado pela expressão (unidades SI) .
a) Calcule o potencial eletrostático (defina V=0 na origem).
b) Determine o valor do campo elétrico e potencial elétrico para os pontos (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico e potencial eletrostático. No item a), a gente precisa calcular o potencial eletrostático sabendo que na origem. No item b), vamos determinar os valores do campo elétrico e do potencial elétrico no ponto . Para isso, vamos precisar entender como relacionar o campo elétrico com o potencial eletrostático e usar integrais para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial eletrostático pela seguinte equação:
Onde é o gradiente de , que nos dá as derivadas parciais de em relação a , e . Isso significa que podemos encontrar integrando o campo elétrico.

Passo 3

Vamos escrever as componentes do campo elétrico :
Agora, usando a relação , temos:

Passo 4

Vamos integrar cada uma dessas equações parciais para encontrar .
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e .

Passo 5

Agora, usamos a segunda equação parcial . Sabendo que , derivamos em relação a :
Comparando as duas expressões:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :
Utilizamos a terceira equação parcial . Derivando em relação a :
Comparando com a equação dada:
Isso significa que é uma constante. Como definimos na origem :

Passo 7

Portanto, a expressão final para o potencial eletrostático é:

Passo 8

Agora, vamos para o item b): determinar o valor do campo elétrico e do potencial elétrico no ponto .
Primeiro, vamos calcular :

Passo 9

Agora, vamos encontrar o campo elétrico no ponto . Lembrando que o campo elétrico foi dado inicialmente como:
Substituindo , e :
Portanto, o campo elétrico no ponto é .

Resposta

a) O potencial eletrostático é .
b) No ponto :
  • Campo elétrico: .
  • Potencial elétrico: .

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O campo elétrico numa região do espaço é dado pela expressão (unidades SI) .
Determine o valor do campo elétrico e potencial elétrico para os pontos (1, 1, 1).
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Calcule o potencial eletrostático (defina V=0 na origem).
Escreva a expressão para o deslocamento y em função de e t (em unidades do SI) para uma onda senoidal que se desloca ao longo de uma corda no sentido negativo de x com as seguintes características: amplitude , comprimento de onda , frequência e .
Uma corda de de extensão com densidade linear é esticada entre dois suportes. A corda possui tensão F e um padrão de onda estacionária (não a fundamental) com frequência de 624 Hz . Com a mesma tensão, a próxima frequência de onda estacionária mais alta é 780 Hz .
a) Quais são a frequência e o comprimento da onda estacionária fundamental para essa corda?