O campo elétrico numa região do espaço é dado pela expressão (unidades SI) E=4 x y imath+(2 x^2+8 y z^3) jmath+12 y^2 z^2 widehatk.
a) Calcule o potencial eletrostático (defina V=0 na origem).
b) Determine o valor do campo elétrico e potencial elétrico para os pontos (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico e potencial eletrostático. No item a), a gente precisa calcular o potencial eletrostático sabendo que na origem. No item b), vamos determinar os valores do campo elétrico e do potencial elétrico no ponto . Para isso, vamos precisar entender como relacionar o campo elétrico com o potencial eletrostático e usar integrais para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = -nabla V está relacionado ao potencial eletrostático pela seguinte equação:
Onde é o gradiente de , que nos dá as derivadas parciais de em relação a , e . Isso significa que podemos encontrar integrando o campo elétrico.

Passo 3

Vamos escrever as componentes do campo elétrico E = 4xy, imath + (2x^2 + 8yz^3), jmath + 12y^2z^2, k :
- partial Vpartial x = 4xy Rightarrow partial Vpartial x = -4xy
Agora, usando a relação - partial Vpartial y = 2x^2 + 8yz^3 Rightarrow partial Vpartial y = -2x^2 - 8yz^3 , temos:
- partial Vpartial z = 12y^2z^2 Rightarrow partial Vpartial z = -12y^2z^2

Passo 4

Vamos integrar cada uma dessas equações parciais para encontrar V(x, y, z) = -4 integral xy , dx = -4 cdot x^22 y + f(y, z) = -2x^2y + f(y, z) .
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e .

Passo 5

Agora, usamos a segunda equação parcial partial Vpartial y = -2x^2 + partial fpartial y = -2x^2 - 8yz^3 . Sabendo que -2x^2 + partial fpartial y = -2x^2 - 8yz^3 Rightarrow partial fpartial y = -8yz^3 , derivamos em relação a f(y, z) = -8 integral yz^3 , dy = -8 cdot y^22 z^3 + g(z) = -4y^2z^3 + g(z) :
Comparando as duas expressões:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Agora, substituímos V(x, y, z) = -2x^2y -4y^2z^3 + g(z) na expressão de partial Vpartial z = -4y^2 cdot 3z^2 + dgdz = -12y^2z^2 + dgdz :
-12y^2z^2 + dgdz = -12y^2z^2 Rightarrow dgdz = 0
Utilizamos a terceira equação parcial V(0, 0, 0) = 0 = -2(0)^2(0) -4(0)^2(0)^3 + C Rightarrow C = 0 . Derivando em relação a :
Comparando com a equação dada:
Isso significa que é uma constante. Como definimos na origem :

Passo 7

Portanto, a expressão final para o potencial eletrostático V(x, y, z) = -2x^2y -4y^2z^3 é:

Passo 8

Agora, vamos para o item b): determinar o valor do campo elétrico e do potencial elétrico no ponto V(1, 1, 1) = -2(1)^2(1) -4(1)^2(1)^3 = -2 cdot 1 cdot 1 -4 cdot 1 cdot 1 = -2 -4 = -6 , V .
Primeiro, vamos calcular :

Passo 9

Agora, vamos encontrar o campo elétrico no ponto E = 4xy, imath + (2x^2 + 8yz^3), jmath + 12y^2z^2, k . Lembrando que o campo elétrico foi dado inicialmente como:
Ex = 4(1)(1) = 4 , V/m
Substituindo Ey = 2(1)^2 + 8(1)(1)^3 = 2 + 8 = 10 , V/m , Ez = 12(1)^2(1)^2 = 12 cdot 1 cdot 1 = 12 , V/m e :
Portanto, o campo elétrico no ponto é .

Resposta

a) O potencial eletrostático é .
b) No ponto :
  • Campo elétrico: .
  • Potencial elétrico: .

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