O campo elétrico numa região do espaço é dado pela expressão (unidades SI) E=4 x y imath+(2 x^2+8 y z^3) jmath+12 y^2 z^2 widehatk.
Determine o valor do campo elétrico e potencial elétrico para os pontos (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o campo elétrico em uma região do espaço, representado pela expressão:
E = 4xy, imath + (2x^2 + 8y z^3) jmath + 12 y^2 z^2 widehatk
E a gente precisa determinar o valor do campo elétrico ( ) e do potencial elétrico ( ) no ponto (1, 1, 1). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico em um ponto específico através da substituição direta das coordenadas e, para o potencial elétrico, vamos integrar o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor do campo elétrico no ponto (1, 1, 1). Isso é simplesmente substituir E = 4xy, imath + (2x^2 + 8y z^3) jmath + 12 y^2 z^2 widehatk , E = 4(1)(1), imath + (2(1)^2 + 8(1)(1)^3) jmath + 12 (1)^2 (1)^2 widehatk e E = 4, imath + (2 + 8), jmath + 12, widehatk = 4, imath + 10, jmath + 12, widehatk na expressão de :
Substituindo:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o potencial elétrico E = -nabla V no ponto (1, 1, 1). O potencial elétrico está relacionado ao campo elétrico pela relação:
Para encontrar , precisamos integrar o campo elétrico. Vamos assumir que o potencial é zero na origem (0, 0, 0) e integrar do ponto (0, 0, 0) até (1, 1, 1). Uma forma prática de fazer isso é integrar ao longo de um caminho que segue os eixos , e sequencialmente.

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a V(x, 0, 0) = -integral0^x Ex, dx' = -integral0^x 4x'y^=0 = -integral0^x 0, dx' = 0 , mantendo e :
Então, .

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a V(1, y, 0) = V(1, 0, 0) - integral0^y Ey, dy' = 0 - integral0^y (2(1)^2 + 8(1)(0)^3) dy' = -integral0^y 2, dy' = -2y , mantendo e :
Então, .

Passo 6

Por último, integramos em relação a V(1, 1, z) = V(1, 1, 0) - integral0^z Ez, dz' = -2 - integral0^z 12(1)^2 (z')^2 dz' = -2 - 12 integral0^z z'^2 dz' , mantendo -2 - 12 [ z'^33 ]0^z = -2 - 12 ( z^33 - 0 ) = -2 - 4z^3 e V(1, 1, 1) = -2 - 4(1)^3 = -2 - 4 = -6 :
Calculando a integral:
Avaliando em :

Resposta

No ponto (1, 1, 1), o campo elétrico é e o potencial elétrico é volts.

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