O campo elétrico numa região do espaço é dado pela expressão (unidades SI) .
Determine o valor do campo elétrico e potencial elétrico para os pontos (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o campo elétrico em uma região do espaço, representado pela expressão:
E a gente precisa determinar o valor do campo elétrico ( ) e do potencial elétrico ( ) no ponto (1, 1, 1). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico em um ponto específico através da substituição direta das coordenadas e, para o potencial elétrico, vamos integrar o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor do campo elétrico no ponto (1, 1, 1). Isso é simplesmente substituir , e na expressão de :
Substituindo:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o potencial elétrico no ponto (1, 1, 1). O potencial elétrico está relacionado ao campo elétrico pela relação:
Para encontrar , precisamos integrar o campo elétrico. Vamos assumir que o potencial é zero na origem (0, 0, 0) e integrar do ponto (0, 0, 0) até (1, 1, 1). Uma forma prática de fazer isso é integrar ao longo de um caminho que segue os eixos , e sequencialmente.

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a , mantendo e :
Então, .

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a , mantendo e :
Então, .

Passo 6

Por último, integramos em relação a , mantendo e :
Calculando a integral:
Avaliando em :

Resposta

No ponto (1, 1, 1), o campo elétrico é e o potencial elétrico é volts.

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O campo elétrico numa região do espaço é dado pela expressão (unidades SI) .
a) Calcule o potencial eletrostático (defina V=0 na origem).
b) Determine o valor do campo elétrico e potencial elétrico para os pontos (1, 1, 1).
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