Escreva a expressão para o deslocamento y em função de x e t (em unidades do SI) para uma onda senoidal que se desloca ao longo de uma corda no sentido negativo de x com as seguintes características: amplitude =6,00 cm, comprimento de onda =50,0 cm, frequência =2,00 Hz e y(0,0)=ym.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente precisa aqui. O exercício pede para escrever a expressão do deslocamento em função de e para uma onda senoidal que está se movendo na direção negativa do eixo . As características da onda são:
  • Amplitude:
  • Comprimento de onda:
  • Frequência:
  • Condição inicial:
Vamos precisar usar as equações das ondas senoidais e entender alguns conceitos básicos de física das ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral de uma onda senoidal que se propaga ao longo do eixo y(x, t) = A cdot sin(kx - omega t + phi) :
y(x, t) = A cdot sin(kx + omega t + phi)
Aqui:
  • é a amplitude da onda.
  • é o número de onda.
  • é a frequência angular.
  • é a fase inicial.
Como a onda está se deslocando no sentido negativo de , a equação fica:

Passo 3

Vamos identificar cada um dos parâmetros que precisamos:
  1. Amplitude ( k = 2pilambda ):
    Já temos omega = 2pi f .
  2. Número de onda ( ):
    O número de onda é dado por:
    Onde é o comprimento de onda.
  3. Frequência angular ( ):
    A frequência angular está relacionada à frequência por:
  4. Fase inicial ( ):
    A condição inicial nos ajuda a encontrar .

Passo 4

Vamos calcular lambda = 50,0 , cm = 0,50 , m e k = 2pi0,50 = 2pi0,5 = 4pi , rad/m :
  • Calculando f = 2,00 , Hz :
    omega = 2pi times 2,00 = 4pi , rad/s
  • Calculando :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar y(0, 0) = A cdot sin(0 + 0 + phi) = ym :
Temos que 6,00 , cm cdot sin(phi) = ym . Substituindo na equação da onda:
sin(phi) = 1
Para que , precisamos que:
Isso acontece quando .

Passo 6

Agora que temos todos os parâmetros, podemos escrever a expressão final da onda:
y(x, t) = 6,00 , cm cdot sin(4pi x + 4pi t + pi2)

Resposta

A expressão para o deslocamento y(x, t) = 6,00 , cm cdot sin(4pi x + 4pi t + pi2) em função de e é:

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