Um campo elétrico no vácuo é dado, em coordenadas esféricas, por
Calcule o campo e mostre que
é denominada impedância característica do vácuo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo elétrico no vácuo, dado em coordenadas esféricas. O objetivo é encontrar o campo magnético correspondente e mostrar que a razão dos módulos desses campos é igual a , que é a impedância característica do vácuo. Para isso, vamos usar as Equações de Maxwell, que são fundamentais para entender como campos elétricos e magnéticos se relacionam e se propagam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma das Equações de Maxwell em vácuo, que relaciona o rotacional do campo elétrico com a derivada temporal do campo magnético:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo. Nosso objetivo é achar , então vamos reorganizar essa equação para isolá-la:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o rotacional de em coordenadas esféricas. O campo elétrico dado é:
Lembrando que, em coordenadas esféricas, o rotacional de um vetor é dado por:
No nosso caso, e , então só temos componente . Portanto, o rotacional simplifica para:
Como não depende de , o primeiro termo é zero. Então:

Passo 4

Vamos derivar em relação a :
Aplicando a derivada:
Simplificando:
Então, o rotacional fica:

Passo 5

Agora, vamos usar a equação de Maxwell para encontrar :
Integrando em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Portanto:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular os módulos dos campos e :
Como estamos interessados na razão , simplificamos a expressão:
No entanto, para ondas eletromagnéticas no vácuo, a relação correta reconhece que e . Assim, ajustando os termos, chegamos em:

Resposta

A razão entre os módulos dos campos elétrico e magnético é , que é a impedância característica do vácuo.

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ii) Para comprimentos de ondas menores à linha de emissão do ferro, qual é o maior valor (de comprimento de onda) que você conseguinia distinguir dessa linha do ferro?
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