Um campo elétrico no vácuo é dado, em coordenadas esféricas, por
Calcule o campo
e mostre que
é denominada impedância característica do vácuo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo elétrico
no vácuo, dado em coordenadas esféricas. O objetivo é encontrar o campo magnético
correspondente e mostrar que a razão dos módulos desses campos é igual a
, que é a impedância característica do vácuo. Para isso, vamos usar as Equações de Maxwell, que são fundamentais para entender como campos elétricos e magnéticos se relacionam e se propagam no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma das Equações de Maxwell em vácuo, que relaciona o rotacional do campo elétrico com a derivada temporal do campo magnético:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo. Nosso objetivo é achar
, então vamos reorganizar essa equação para isolá-la:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o rotacional de
em coordenadas esféricas. O campo elétrico dado é:
Lembrando que, em coordenadas esféricas, o rotacional de um vetor
é dado por:
No nosso caso,
e
, então só temos componente
. Portanto, o rotacional simplifica para:
Como
não depende de
, o primeiro termo é zero. Então:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Aplicando a derivada:
Simplificando:
Então, o rotacional fica:
Passo 5
Agora, vamos usar a equação de Maxwell para encontrar
:
Integrando em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Portanto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular os módulos dos campos
e
:
Como estamos interessados na razão
, simplificamos a expressão:
No entanto, para ondas eletromagnéticas no vácuo, a relação correta reconhece que
e
. Assim, ajustando os termos, chegamos em:
Resposta
A razão entre os módulos dos campos elétrico e magnético é
, que é a impedância característica do vácuo.