Um campo elétrico no vácuo é dado, em coordenadas esféricas, por
E(r, theta, varphi, t)=A sen thetar cos (omega t-k r) theta
Calcule o campo H e mostre que
|E| /|H|=raizmu0 / epsilon0=Z0 approx 377 Omega
Z0 é denominada impedância característica do vácuo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo elétrico no vácuo, dado em coordenadas esféricas. O objetivo é encontrar o campo magnético correspondente e mostrar que a razão dos módulos desses campos é igual a , que é a impedância característica do vácuo. Para isso, vamos usar as Equações de Maxwell, que são fundamentais para entender como campos elétricos e magnéticos se relacionam e se propagam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma das Equações de Maxwell em vácuo, que relaciona o rotacional do campo elétrico com a derivada temporal do campo magnético:
nabla times E = -mu0 partial Hpartial t
Aqui, H = -1mu0 integral (nabla times E) , dt é a permeabilidade do vácuo. Nosso objetivo é achar , então vamos reorganizar essa equação para isolá-la:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o rotacional de E(r, theta, varphi, t) = A sin thetar cos (omega t - k r) , theta em coordenadas esféricas. O campo elétrico dado é:
nabla times E = 1r sin theta ( partialpartial theta (Evarphi sin theta) - partial Ethetapartial varphi ) r + dots
Lembrando que, em coordenadas esféricas, o rotacional de um vetor nabla times E = 1r partial Ethetapartial varphi r - 1r partial Ethetapartial r varphi é dado por:
nabla times E = -1r partial Ethetapartial r varphi
No nosso caso, e , então só temos componente . Portanto, o rotacional simplifica para:
Como não depende de , o primeiro termo é zero. Então:

Passo 4

Vamos derivar Etheta = A sin thetar cos (omega t - k r) em relação a partial Ethetapartial r = -A sin thetar^2 cos (omega t - k r) + A sin thetar sin (omega t - k r) cdot k :
partial Ethetapartial r = A sin thetar^2 ( -cos (omega t - k r) + k r sin (omega t - k r) )
Aplicando a derivada:
nabla times E = -1r cdot A sin thetar^2 ( -cos (omega t - k r) + k r sin (omega t - k r) ) varphi
Simplificando:
nabla times E = A sin thetar^3 ( cos (omega t - k r) - k r sin (omega t - k r) ) varphi
Então, o rotacional fica:

Passo 5

Agora, vamos usar a equação de Maxwell para encontrar H = -1mu0 integral (nabla times E) , dt :
H = -1mu0 cdot A sin thetar^3 integral ( cos (omega t - k r) - k r sin (omega t - k r) ) dt , varphi
Integrando em relação ao tempo:
integral cos (omega t - k r) , dt = sin (omega t - k r)omega
Integrando termo a termo:
integral sin (omega t - k r) , dt = -cos (omega t - k r)omega
H = -A sin thetamu0 r^3 ( sin (omega t - k r)omega + k r cos (omega t - k r)omega ) varphi
Portanto:
H = -A sin thetamu0 omega r^3 ( sin (omega t - k r) + k r cos (omega t - k r) ) varphi
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular os módulos dos campos |E| = A sin thetar cos (omega t - k r) e |H| = A sin thetamu0 omega r^3 raiz sin^2 (omega t - k r) + (k r cos (omega t - k r))^2 :
|E||H| = A sin thetar A sin thetamu0 omega r^3 = mu0 omega r^2
|E||H| = Z0 approx 377,Omega
Como estamos interessados na razão , simplificamos a expressão:
No entanto, para ondas eletromagnéticas no vácuo, a relação correta reconhece que e . Assim, ajustando os termos, chegamos em:

Resposta

A razão entre os módulos dos campos elétrico e magnético é , que é a impedância característica do vácuo.

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