Um capacitor esférico consiste de uma casca esférica condutora de raio
e carga
que é concêntrica com uma outra esférica condutora de raio menor
e carga
(Figura P20.40).
a) Demonstre que a capacitância é:
.
b) Mostre que, para
a capacitância tende a
.
c) Fazendo
, mostre que a expressão da capacitância se reduz à do capacitor de placas paralelas, ou seja:
.
a) Demonstre que a capacitância é:
b) Mostre que, para
c) Fazendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre capacitância de capacitores esféricos! O enunciado fala sobre duas cascas esféricas condutoras, uma com raio
e carga
, e outra com raio
e carga
. A matéria envolve eletrostática, especificamente o conceito de capacitância. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a diferença de potencial entre as esferas e usar a fórmula da capacitância
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o potencial elétrico na esfera interna (raio
) devido à carga
. A fórmula para o potencial de uma esfera condutora é
, onde
é o raio da esfera. Então, o potencial na esfera de raio
é:
Passo 3
Agora, consideramos o potencial na mesma esfera interna devido à esfera externa (raio
) com carga
. Como a esfera externa está fora da esfera interna, o potencial devido a ela na esfera interna é:
Passo 4
A diferença de potencial
entre as duas esferas é a soma dos potenciais causados por cada uma delas na esfera interna:
Passo 5
Agora, usamos a definição de capacitância, que é a relação entre a carga
e a diferença de potencial
:
Substituindo
na fórmula:
Passo 6
Simplificando a expressão, multiplicamos numerador e denominador por
para eliminar as frações:
Resposta
A capacitância do capacitor esférico é: