Um capacitor esférico consiste de uma casca esférica condutora de raio b e carga -Q que é concêntrica com uma outra esférica condutora de raio menor a e carga +Q (Figura P20.40).
a) Demonstre que a capacitância é: C=4 pi epsilon0 a b /(b-a).
b) Mostre que, para b infty a capacitância tende a C=4 pi epsilon0 a.
c) Fazendo b-a=d ll a, mostre que a expressão da capacitância se reduz à do capacitor de placas paralelas, ou seja: C=epsilon0 A / d.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre capacitância de capacitores esféricos! O enunciado fala sobre duas cascas esféricas condutoras, uma com raio a e carga +Q, e outra com raio b e carga -Q. A matéria envolve eletrostática, especificamente o conceito de capacitância. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a diferença de potencial entre as esferas e usar a fórmula da capacitância C = Q/V.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o potencial elétrico na esfera interna (raio a) devido à carga +Q. A fórmula para o potencial de uma esfera condutora é V = 14pi epsilon0 Qr, onde r é o raio da esfera. Então, o potencial na esfera de raio a é:
Va = 14pi epsilon0 Qa

Passo 3

Agora, consideramos o potencial na mesma esfera interna devido à esfera externa (raio b) com carga -Q. Como a esfera externa está fora da esfera interna, o potencial devido a ela na esfera interna é:
Vb = 14pi epsilon0 -Qb

Passo 4

A diferença de potencial V entre as duas esferas é a soma dos potenciais causados por cada uma delas na esfera interna:
V = Va + Vb = 14pi epsilon0 ( Qa - Qb ) = Q4pi epsilon0 ( 1a - 1b )

Passo 5

Agora, usamos a definição de capacitância, que é a relação entre a carga Q e a diferença de potencial V:
C = QV
Substituindo V na fórmula:
C = QQ4pi epsilon0 ( 1a - 1b ) = 4pi epsilon0( 1a - 1b )

Passo 6

Simplificando a expressão, multiplicamos numerador e denominador por ab para eliminar as frações:
C = 4pi epsilon0 abb - a

Resposta

A capacitância do capacitor esférico é:
C = 4 pi epsilon0 a bb - a

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