Um capacitor esférico consiste de uma casca esférica condutora de raio e carga que é concêntrica com uma outra esférica condutora de raio menor e carga (Figura P20.40).
a) Demonstre que a capacitância é: .
b) Mostre que, para a capacitância tende a .
c) Fazendo , mostre que a expressão da capacitância se reduz à do capacitor de placas paralelas, ou seja: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre capacitância de capacitores esféricos! O enunciado fala sobre duas cascas esféricas condutoras, uma com raio e carga , e outra com raio e carga . A matéria envolve eletrostática, especificamente o conceito de capacitância. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a diferença de potencial entre as esferas e usar a fórmula da capacitância .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o potencial elétrico na esfera interna (raio ) devido à carga . A fórmula para o potencial de uma esfera condutora é , onde é o raio da esfera. Então, o potencial na esfera de raio é:

Passo 3

Agora, consideramos o potencial na mesma esfera interna devido à esfera externa (raio ) com carga . Como a esfera externa está fora da esfera interna, o potencial devido a ela na esfera interna é:

Passo 4

A diferença de potencial entre as duas esferas é a soma dos potenciais causados por cada uma delas na esfera interna:

Passo 5

Agora, usamos a definição de capacitância, que é a relação entre a carga e a diferença de potencial :
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Simplificando a expressão, multiplicamos numerador e denominador por para eliminar as frações:

Resposta

A capacitância do capacitor esférico é:

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c) Calcular o momento linear transportado por 1 m de comprimento do feixe.
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a)
b)
c)
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Calcule o campo e mostre que
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