Considere uma esfera isolante de raio com carga positiva uniformemente distribuída em seu volume.
a) (1.0) Calcule o campo elétrico dentro e fora da esfera.
b) (0.5) Faça um gráfico de em função de para , indicando o valor em .
Suponha que exista um tubo muito fino e retilíneo atravessando toda a esfera, passando pelo seu centro. Uma partícula de massa e carga negativa é solta em uma extremidade do tubo, c) (0.5) Desprezando a força gravitacional, calcule a força resultante sobre a partícula quando ela estiver a uma distância do centro da esfera.
d) (0.5) Qual será o movimento descrito pela carga? Quanto tempo ela levará para retornar ao ponto de que foi solta?
Passo 1
Beleza, temos uma esfera isolante com raio e carga positiva espalhada de maneira uniforme no volume dela. A gente precisa calcular o campo elétrico tanto dentro quanto fora dessa esfera. Vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil pra essas situações onde a distribuição de carga tem uma certa simetria, como no caso de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para . Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga é igual a . Agora, para achar a carga dentro de um raio , que é menor que , usamos essa densidade:
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela constante , temos:
Como a esfera é simétrica, o campo elétrico tem o mesmo valor em todos os pontos da superfície gaussiana (uma esfera de raio ) e é radial. Então, o fluxo elétrico fica:
Passo 4
Isolando na equação acima, temos:
Isso mostra que dentro da esfera, o campo elétrico aumenta linearmente com a distância do centro.
Passo 5
Agora vamos calcular o campo elétrico fora da esfera, ou seja, para . Nesse caso, toda a carga está dentro da superfície gaussiana. Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Isolando :
Isso mostra que fora da esfera, o campo elétrico decai com o quadrado da distância, igual ao campo de uma carga pontual.