Considere uma esfera isolante de raio R com carga positiva Q uniformemente distribuída em seu volume.
a) (1.0) Calcule o campo elétrico E(r) dentro e fora da esfera.
b) (0.5) Faça um gráfico de |E(r)| em função de r para 0, indicando o valor em r= R.
Suponha que exista um tubo muito fino e retilíneo atravessando toda a esfera, passando pelo seu centro. Uma partícula de massa m e carga negativa -q é solta em uma extremidade do tubo, c) (0.5) Desprezando a força gravitacional, calcule a força resultante sobre a partícula quando ela estiver a uma distância r do centro da esfera.
d) (0.5) Qual será o movimento descrito pela carga? Quanto tempo ela levará para retornar ao ponto de que foi solta?

Passo 1

Beleza, temos uma esfera isolante com raio R e carga positiva Q espalhada de maneira uniforme no volume dela. A gente precisa calcular o campo elétrico E(r) tanto dentro quanto fora dessa esfera. Vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil pra essas situações onde a distribuição de carga tem uma certa simetria, como no caso de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para r < R. Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga rho é igual a rho = Q43pi R^3. Agora, para achar a carga dentro de um raio r, que é menor que R, usamos essa densidade:
Qdentro = rho times 43pi r^3 = Q (r^3R^3)

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela constante epsilon0, temos:
oint E cdot dA = Qdentroepsilon0
Como a esfera é simétrica, o campo elétrico E tem o mesmo valor em todos os pontos da superfície gaussiana (uma esfera de raio r) e é radial. Então, o fluxo elétrico fica:
E(r) times 4pi r^2 = Q (r^3R^3)epsilon0

Passo 4

Isolando E(r) na equação acima, temos:
E(r) = Q4pi epsilon0 R^3 , r para r <= R
Isso mostra que dentro da esfera, o campo elétrico aumenta linearmente com a distância r do centro.

Passo 5

Agora vamos calcular o campo elétrico fora da esfera, ou seja, para r > R. Nesse caso, toda a carga Q está dentro da superfície gaussiana. Aplicando novamente a Lei de Gauss:
E(r) times 4pi r^2 = Qepsilon0
Isolando E(r):
E(r) = Q4pi epsilon0 r^2 para r > R
Isso mostra que fora da esfera, o campo elétrico decai com o quadrado da distância, igual ao campo de uma carga pontual.

Resposta

O campo elétrico E(r) é dado por:
E(r) = Q4pi epsilon0 R^3 , r, r & para r <= R, [10pt] Q4pi epsilon0 r^2 , r & para r > R

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