Um campo elétrico no vácuo, que depende da coordenada
e do tempo
, aponta na direção
e é dado pela a seguinte expressão
, onde
,
e
são constantes. Determinar o vetor de Poynting correspondente
em função de x e t e das constantes do enunciado acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo elétrico no vácuo que varia com as coordenadas
e o tempo
. Esse campo elétrico aponta na direção
e é descrito pela expressão:
Aqui,
,
,
e
são constantes. Nosso objetivo é encontrar o vetor de Poynting
que representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética nesse campo. Para isso, vamos precisar entender um pouco de eletrodinâmica, especificamente como calcular o vetor de Poynting a partir dos campos elétrico e magnético.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor de Poynting. Ele é dado por:
Onde
é a permeabilidade do vácuo,
é o campo elétrico e
é o campo magnético. Nosso desafio aqui é encontrar
a partir de
.
Passo 3
Sabemos que em um vácuo, as ondas eletromagnéticas têm uma relação especial entre
e
. Para uma onda que se propaga na direção
, se
está na direção
, então
estará na direção
. Além disso, a amplitude de
está relacionada à de
pela velocidade da luz
:
Aqui,
é a velocidade da luz no vácuo.
Passo 4
Agora que temos tanto
quanto
, podemos calcular o vetor de Poynting
. Vamos fazer o produto vetorial
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Finalmente, substituímos esse resultado na expressão do vetor de Poynting:
Simplificando, temos:
Resposta
O vetor de Poynting é dado por: