Um campo elétrico no vácuo, que depende da coordenada e do tempo , aponta na direção e é dado pela a seguinte expressão , onde , e são constantes. Determinar o vetor de Poynting correspondente em função de x e t e das constantes do enunciado acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo elétrico no vácuo que varia com as coordenadas e o tempo . Esse campo elétrico aponta na direção e é descrito pela expressão:
Aqui, , , e são constantes. Nosso objetivo é encontrar o vetor de Poynting que representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética nesse campo. Para isso, vamos precisar entender um pouco de eletrodinâmica, especificamente como calcular o vetor de Poynting a partir dos campos elétrico e magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor de Poynting. Ele é dado por:
Onde é a permeabilidade do vácuo, é o campo elétrico e é o campo magnético. Nosso desafio aqui é encontrar a partir de .

Passo 3

Sabemos que em um vácuo, as ondas eletromagnéticas têm uma relação especial entre e . Para uma onda que se propaga na direção , se está na direção , então estará na direção . Além disso, a amplitude de está relacionada à de pela velocidade da luz :
Aqui, é a velocidade da luz no vácuo.

Passo 4

Agora que temos tanto quanto , podemos calcular o vetor de Poynting . Vamos fazer o produto vetorial :
Sabemos que , então:

Passo 5

Finalmente, substituímos esse resultado na expressão do vetor de Poynting:
Simplificando, temos:

Resposta

O vetor de Poynting é dado por:

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á
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