Um campo elétrico no vácuo, que depende da coordenada x e do tempo t, aponta na direção y e é dado pela a seguinte expressão E(x, t)=A cos (kx+omega t-de, onde A, k, omega e de são constantes. Determinar o vetor de Poynting correspondente S em função de x e t e das constantes do enunciado acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo elétrico no vácuo que varia com as coordenadas E(x, t) = A cos(kx + omega t - de e o tempo . Esse campo elétrico aponta na direção e é descrito pela expressão:
Aqui, , , e são constantes. Nosso objetivo é encontrar o vetor de Poynting que representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética nesse campo. Para isso, vamos precisar entender um pouco de eletrodinâmica, especificamente como calcular o vetor de Poynting a partir dos campos elétrico e magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor de Poynting. Ele é dado por:
S = 1mu0 E times B
Onde é a permeabilidade do vácuo, é o campo elétrico e é o campo magnético. Nosso desafio aqui é encontrar a partir de .

Passo 3

Sabemos que em um vácuo, as ondas eletromagnéticas têm uma relação especial entre B(x, t) = Ac cos(kx + omega t - de e . Para uma onda que se propaga na direção , se está na direção , então estará na direção . Além disso, a amplitude de está relacionada à de pela velocidade da luz :
Aqui, é a velocidade da luz no vácuo.

Passo 4

Agora que temos tanto E times B = ( A cos(kx + omega t - de quanto E times B = A^2c cos^2(kx + omega t - de, podemos calcular o vetor de Poynting . Vamos fazer o produto vetorial :
Sabemos que , então:

Passo 5

Finalmente, substituímos esse resultado na expressão do vetor de Poynting:
S = 1mu0 ( A^2c cos^2(kx + omega t - de
Simplificando, temos:
S(x, t) = A^2mu0 c cos^2(kx + omega t - de

Resposta

O vetor de Poynting é dado por:
S(x, t) = A^2mu0 c cos^2(kx + omega t - de

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