Considere um sistema bloco-mola. A constante de mola é 230 N / m, a massa do bloco é 0,500 kg e o coeficiente de amortecimento b=3,00 kg / s.
(a) Encontre a frequência angular das oscilações do sistema.
(b) Suponhamos que o sistema é submetido a uma força propulsora senoidal
Fd(t)=F máx cos (2 pi fd t) á
em que Fmáx=10 N e fd=4,0 Hz. Encontre a amplitude das oscilações forçadas.
(2 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema bloco-mola onde queremos descobrir duas coisas:
(a) A frequência angular das oscilações do sistema.
(b) A amplitude das oscilações quando uma força externa está agindo sobre ele.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas massa-mola e amortecimento, além de usar algumas fórmulas de física relacionadas a movimentos oscilatórios. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a frequência angular das oscilações do sistema
Primeiro, vamos lembrar que a frequência angular, geralmente denotada por omega = raizkm , é uma medida de quão rápido o sistema oscila. Para um sistema massa-mola sem amortecimento, a frequência angular é dada por:
Onde:
  • é a constante da mola (em N/m)
  • é a massa do bloco (em kg)
No nosso caso, a constante da mola e a massa .

Passo 3

Vamos calcular omega = raiz2300,500 = raiz460 approx 21,45 , rad/s usando os valores fornecidos:

Passo 4

Parte (b): Encontrar a amplitude das oscilações forçadas
Quando o sistema é submetido a uma força externa senoidal como X = Fmáxraiz(k - m(2pi fd)^2)^2 + (b cdot 2pi fd)^2 á, a amplitude da oscilação forçada pode ser encontrada pela fórmula:
á
Onde:
  • á é a força máxima
  • é a frequência da força aplicada
  • é o coeficiente de amortecimento

Passo 5

Primeiro, vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Calcular 2pi fd = 2pi times 4,0 approx 25,13 , rad/s :
0,500 times (25,13)^2 approx 0,500 times 631,65 approx 315,83 , N/m
  1. Calcular 230 - 315,83 = -85,83 , N/m :
3,00 times 25,13 approx 75,40 , kg/s cdot rad/s
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 6

Agora, vamos calcular o denominador da fórmula da amplitude raiz(-85,83)^2 + (75,40)^2 = raiz7362,89 + 5685,16 = raiz13048,05 approx 114,19 :

Passo 7

Finalmente, calculamos a amplitude X = 10114,19 approx 0,0876 , m :
Ou seja, a amplitude das oscilações forçadas é aproximadamente 8,76 cm.

Resposta

(a) A frequência angular das oscilações do sistema é aproximadamente .
(b) A amplitude das oscilações forçadas é cerca de ou 8,76 cm.

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