Um campo de escoamento incompressível e sem atrito é dado por
, onde
, e as coordenadas são medidas em metros. Determine o módulo e o sentido da aceleração de uma partícula fluida no ponto
. Determine o gradiente de pressão no mesmo ponto, se
e o fluido for a água.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre escoamento de fluidos incompressíveis sem atrito. A gente precisa determinar a aceleração de uma partícula de fluido em um ponto específico e também o gradiente de pressão nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos fluidos, como a aceleração material e a equação de equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula no ponto
. A aceleração em fluidos é dada pela derivada material da velocidade, que pode ser calculada usando:
Onde
é o campo de velocidade.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, identifique os componentes da velocidade:
Agora, calcule as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo esses valores na expressão da aceleração:
Agora, vamos avaliar em
, onde
e
:
Primeiro, calcule
e
:
Agora, substitua:
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo da aceleração:
E o sentido da aceleração pode ser encontrado pelo ângulo
em relação ao eixo
:
Passo 6
Agora, para determinar o gradiente de pressão no ponto
, vamos usar a equação de equilíbrio de forças para fluidos em movimento:
Onde:
-
é a densidade da água ( ), -
é a aceleração da gravidade.
Rearranjando para encontrar o gradiente de pressão:
Passo 7
Substituindo os valores:
Considerando
:
Resposta
A aceleração da partícula no ponto
tem módulo aproximadamente
e está direcionada a
em relação ao eixo
. O gradiente de pressão nesse ponto é
.