Um campo de escoamento incompressível e sem atrito é dado por V=(A x-B y) i-A y j, onde A=2 s^-1, B=1 s^-1, e as coordenadas são medidas em metros. Determine o módulo e o sentido da aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y)=(1,1). Determine o gradiente de pressão no mesmo ponto, se g=-g j e o fluido for a água.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre escoamento de fluidos incompressíveis sem atrito. A gente precisa determinar a aceleração de uma partícula de fluido em um ponto específico e também o gradiente de pressão nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos fluidos, como a aceleração material e a equação de equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula no ponto (1,1). A aceleração em fluidos é dada pela derivada material da velocidade, que pode ser calculada usando:
a = ( Vx partial Vxpartial x + Vy partial Vxpartial y ) i + ( Vx partial Vypartial x + Vy partial Vypartial y ) j
Onde V = (Vx, Vy) é o campo de velocidade.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, identifique os componentes da velocidade:
Vx = A x - B y Vy = -A y
Agora, calcule as derivadas parciais:
partial Vxpartial x = A partial Vxpartial y = -B partial Vypartial x = 0 partial Vypartial y = -A

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão da aceleração:
ax = Vx cdot A + Vy cdot (-B) ay = Vx cdot 0 + Vy cdot (-A)
Agora, vamos avaliar em (x, y) = (1, 1), onde A = 2, s^-1 e B = 1, s^-1:
Primeiro, calcule Vx e Vy:
Vx = 2 cdot 1 - 1 cdot 1 = 1, m/s Vy = -2 cdot 1 = -2, m/s
Agora, substitua:
ax = 1 cdot 2 + (-2) cdot (-1) = 2 + 2 = 4, m/s^2 ay = 1 cdot 0 + (-2) cdot (-2) = 0 + 4 = 4, m/s^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo da aceleração:
|a| = raizax^2 + ay^2 = raiz4^2 + 4^2 = raiz16 + 16 = raiz32 approx 5,66, m/s^2
E o sentido da aceleração pode ser encontrado pelo ângulo theta em relação ao eixo x:
theta = arctan(ayax) = arctan(44) = 45^circ

Passo 6

Agora, para determinar o gradiente de pressão no ponto (1,1), vamos usar a equação de equilíbrio de forças para fluidos em movimento:
rho a = -nabla p + rho g
Onde:
  • rho é a densidade da água ( rho approx 1000, kg/m^3),
  • g = -g j é a aceleração da gravidade.
Rearranjando para encontrar o gradiente de pressão:
nabla p = -rho a + rho g

Passo 7

Substituindo os valores:
nabla p = -1000 cdot (4, i + 4, j) + 1000 cdot (-g j) nabla p = (-4000, i - 4000, j) + (-1000g, j)
Considerando g approx 9,81, m/s^2:
nabla p = -4000, i - (4000 + 9810), j nabla p = -4000, i - 13810, j, Pa/m

Resposta

A aceleração da partícula no ponto (1,1) tem módulo aproximadamente 5,66, m/s^2 e está direcionada a 45^circ em relação ao eixo x. O gradiente de pressão nesse ponto é nabla p = -4000, i - 13810, j, Pa/m.

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