Usando o Teorema de Buckingham mostre que o torque tau necessário para fazer girar um disco de diâmetro d à velocidade angular omega, num fluido de viscosidade mu e densidade rho é dado por:
taurho omega^2 d^5=f(murho omega d^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema de Buckingham Pi para mostrar uma relação envolvendo o torque tau necessário para girar um disco. A matéria aqui é de Física, mais especificamente de dimensões e análise adimensional. Para resolver, vamos precisar identificar as variáveis do problema e suas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões básicas:
  • Torque, tau: dimensão de força vezes distância, ou seja, [M L^2 T^-2].
  • Densidade, rho: massa por volume, [M L^-3].
  • Velocidade angular, omega: [T^-1].
  • Diâmetro, d: comprimento, [L].
  • Viscosidade, mu: [M L^-1 T^-1].

Passo 3

Segundo o Teorema de Buckingham Pi, se temos n variáveis e elas envolvem k dimensões fundamentais, teremos n - k grupos dimensionais (pi). Aqui, temos 5 variáveis ( tau, rho, omega, d, mu) e 3 dimensões fundamentais (M, L, T). Então, 5 - 3 = 2 grupos pi.

Passo 4

Vamos escolher as variáveis repetidas. Geralmente, escolhemos aquelas que cobrem todas as dimensões básicas. Nesse caso, podemos escolher rho, omega e d como repetidas.

Passo 5

Agora, formamos os grupos pi.
Primeiro grupo pi ( pi1):
pi1 = taurho omega^2 d^5
Vamos verificar as dimensões:
  • tau: [M L^2 T^-2]
  • rho omega^2 d^5: [M L^-3] times [T^-2] times [L^5] = [M L^2 T^-2]
Então, pi1 é adimensional.
Segundo grupo pi ( pi2):
Precisamos envolver a viscosidade mu. Vamos ver como ela se relaciona com as outras variáveis:
pi2 = murho omega d^2
Verificando as dimensões:
  • mu: [M L^-1 T^-1]
  • rho omega d^2: [M L^-3] times [T^-1] times [L^2] = [M L^-1 T^-1]
Assim, pi2 também é adimensional.

Passo 6

De acordo com o Teorema de Buckingham Pi, a relação entre os grupos dimensionais é uma função geral. Portanto, podemos escrever:
pi1 = f(pi2)
Substituindo pi1 e pi2 pelas expressões que encontramos:
taurho omega^2 d^5 = f(murho omega d^2)

Resposta

Mostramos que o torque necessário para girar o disco satisfaz a relação adimensional:
taurho omega^2 d^5 = f(murho omega d^2)

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