Usando o Teorema de Buckingham mostre que o torque
necessário para fazer girar um disco de diâmetro
à velocidade angular
, num fluido de viscosidade
e densidade
é dado por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema de Buckingham Pi para mostrar uma relação envolvendo o torque
necessário para girar um disco. A matéria aqui é de Física, mais especificamente de dimensões e análise adimensional. Para resolver, vamos precisar identificar as variáveis do problema e suas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões básicas:
- Torque,
: dimensão de força vezes distância, ou seja, . - Densidade,
: massa por volume, . - Velocidade angular,
: . - Diâmetro,
: comprimento, . - Viscosidade,
: .
Passo 3
Segundo o Teorema de Buckingham Pi, se temos
variáveis e elas envolvem
dimensões fundamentais, teremos
grupos dimensionais (pi). Aqui, temos 5 variáveis (
,
,
,
,
) e 3 dimensões fundamentais (M, L, T). Então,
grupos pi.
Passo 4
Vamos escolher as variáveis repetidas. Geralmente, escolhemos aquelas que cobrem todas as dimensões básicas. Nesse caso, podemos escolher
,
e
como repetidas.
Passo 5
Agora, formamos os grupos pi.
Primeiro grupo pi (
):
Vamos verificar as dimensões:
-
: -
:
Então,
é adimensional.
Segundo grupo pi (
):
Precisamos envolver a viscosidade
. Vamos ver como ela se relaciona com as outras variáveis:
Verificando as dimensões:
-
: -
:
Assim,
também é adimensional.
Passo 6
De acordo com o Teorema de Buckingham Pi, a relação entre os grupos dimensionais é uma função geral. Portanto, podemos escrever:
Substituindo
e
pelas expressões que encontramos:
Resposta
Mostramos que o torque necessário para girar o disco satisfaz a relação adimensional: