Um campo de escoamento é representado pela função corrente
.
(b) Mostre se este campo é irrotacional.
(b) Mostre se este campo é irrotacional.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se o campo de escoamento representado pela função corrente
é irrotacional. Este exercício está dentro do estudo de campos vetoriais e rotacional em Física. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser irrotacional e como calcular a rotacional a partir da função corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função corrente (
). Em um fluxo bidimensional, a função corrente nos permite determinar as componentes da velocidade do fluido. As componentes da velocidade
e
podem ser obtidas pelas derivadas parciais da função corrente:
Isso nos dá a direção e a magnitude do fluxo em cada ponto.
Passo 3
Agora, para verificar se o campo é irrotacional, precisamos calcular a rotacional do campo. Em duas dimensões, a rotacional (também chamada de vorticidade
) pode ser calculada usando:
Se
, então o campo é irrotacional.
Passo 4
Vamos calcular as componentes da velocidade a partir da função corrente
:
Passo 5
Agora, calculamos as derivadas necessárias para a rotacional:
Passo 6
Substituímos esses valores na expressão da rotacional:
Resposta
Como
, concluímos que o campo de escoamento é irrotacional.