Um campo de escoamento é representado pela função corrente Psi=x^2-y^2.
(b) Mostre se este campo é irrotacional.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se o campo de escoamento representado pela função corrente é irrotacional. Este exercício está dentro do estudo de campos vetoriais e rotacional em Física. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser irrotacional e como calcular a rotacional a partir da função corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função corrente ( u = partial Psipartial y ). Em um fluxo bidimensional, a função corrente nos permite determinar as componentes da velocidade do fluido. As componentes da velocidade v = -partial Psipartial x e podem ser obtidas pelas derivadas parciais da função corrente:
Isso nos dá a direção e a magnitude do fluxo em cada ponto.

Passo 3

Agora, para verificar se o campo é irrotacional, precisamos calcular a rotacional do campo. Em duas dimensões, a rotacional (também chamada de vorticidade omega = partial vpartial x - partial upartial y ) pode ser calculada usando:
Se , então o campo é irrotacional.

Passo 4

Vamos calcular as componentes da velocidade a partir da função corrente u = partial Psipartial y = partialpartial y(x^2 - y^2) = -2y :
v = -partial Psipartial x = -partialpartial x(x^2 - y^2) = -2x

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas necessárias para a rotacional:
partial vpartial x = partialpartial x(-2x) = -2
partial upartial y = partialpartial y(-2y) = -2

Passo 6

Substituímos esses valores na expressão da rotacional:
omega = partial vpartial x - partial upartial y = (-2) - (-2) = 0

Resposta

Como , concluímos que o campo de escoamento é irrotacional.

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