Um campo de escoamentos bidimensional é descrito por
. Para uma trajetória circular com 2 m de raio, ache a circulação.
Passo 1
Beleza, então temos um campo de escoamento bidimensional descrito por
. O exercício pede para a gente encontrar a circulação em torno de uma trajetória circular com raio de 2 metros. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a circulação que mede o quanto o campo está “rodando” ao longo de uma curva fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. A circulação, denotada por
, é definida como a integral de linha do campo de velocidade ao longo da curva fechada. Matematicamente, é expressa por:
Onde
é a curva (nossa circunferência de raio 2m) e
é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Para calcular essa integral, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona a circulação ao fluxo rotacional do campo sobre a área limitada pela curva. O Teorema de Green nos diz que:
Onde
e
é a área da circunferência.
Passo 4
Identificando
e
no nosso campo de velocidade:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Isso significa que a circulação ao redor da circunferência é zero.
Resposta
A circulação ao redor da trajetória circular de 2 metros de raio é zero.
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