Um campo de escoamentos bidimensional é descrito por V=2 x^2 y i+23 x^3 j. Para uma trajetória circular com 2 m de raio, ache a circulação.

Passo 1

Beleza, então temos um campo de escoamento bidimensional descrito por V = 2x^2y,i + 23x^3,j. O exercício pede para a gente encontrar a circulação em torno de uma trajetória circular com raio de 2 metros. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a circulação que mede o quanto o campo está “rodando” ao longo de uma curva fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. A circulação, denotada por Gamma, é definida como a integral de linha do campo de velocidade ao longo da curva fechada. Matematicamente, é expressa por:
Gamma = ointC V cdot dr
Onde C é a curva (nossa circunferência de raio 2m) e dr é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Para calcular essa integral, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona a circulação ao fluxo rotacional do campo sobre a área limitada pela curva. O Teorema de Green nos diz que:
Gamma = ointC V cdot dr = integral duplaA ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde V = P,i + Q,j e A é a área da circunferência.

Passo 4

Identificando P e Q no nosso campo de velocidade:
P = 2x^2y Q = 23x^3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( 23x^3 ) = 2x^2 partial Ppartial y = partialpartial y ( 2x^2y ) = 2x^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Gamma = integral duplaA ( 2x^2 - 2x^2 ) dA = integral duplaA 0, dA = 0
Isso significa que a circulação ao redor da circunferência é zero.

Resposta

A circulação ao redor da trajetória circular de 2 metros de raio é zero.

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