Para o campo
, calcule a integral de fluxo
, onde
é a superfície, orientada positivamente, da região delimitada pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
OBS: Resolva a Questão 4 no verso desta folha.
OBS: Resolva a Questão 4 no verso desta folha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de fluxo do campo vetorial
sobre a superfície
. Essa superfície é delimitada pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo através de uma superfície fechada com a integral do divergente do campo vetorial sobre o volume delimitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial
. O divergente é dado por:
Passo 3
Calculando cada derivada parcial:
-
-
-
(já que a derivada de coseno de uma função que não depende de z é zero)
Então, o divergente é:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral volumétrica do divergente sobre a região delimitada. A região está limitada pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
e
. Precisamos encontrar os limites de integração para
,
e
.
- De
a . - De
a (vindo de ).
Para
, considerando o cilindro parabólico
e
, temos
.
Passo 5
Montando a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Vamos fazer a substituição
, então
. Quando
,
, e quando
,
. A integral fica:
Então, a integral agora é:
Passo 8
Calculando as integrais:
Vamos expandir
:
Então,
Como todas as potências de y são pares (exceto o termo linear, mas o intervalo é simétrico), o resultado será:
Na verdade, há um erro nesta parte. Vamos calcular corretamente:
Para cada termo:
Somando tudo:
Passo 9
Agora, voltando à integral original:
Resposta
A integral de fluxo
é igual a
.
Exercícios relacionados
Considere a superfície
orientada de maneira que o unitário normal aponte em direção ao eixo
. Dado o campo vetorial
, sobre o valor da integral de fluxo
, a única afirmação correta é:
(a) não é possível determiná-lo;
(b) é igual a zero;
© é igual a ;
é igual a
(e) nenhuma das alternativas é correta.
(a) não é possível determiná-lo;
(b) é igual a zero;
© é igual a
(e) nenhuma das alternativas é correta.
Se ela convergir, encontre o limite.
Considere as seguintes superfícies assim definidas:
e
. Se
e
são as áreas de
e
, respectivamente, então a única afirmação correta é:
(a)
(b) ; 0
for ; 0
(d) ;
(e) nenhuma das alternativas é correta.
(a)
(b)
for
(d)
(e) nenhuma das alternativas é correta.
Use o teorema de Green para calcular
.
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
, C é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário.
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).