Para o campo F(x, y, z)=(x^2+z^4) i+(x y+e^x z) j+cos (x^4 y^4) k, calcule a integral de fluxo integral duplaS F cdot d S, onde S é a superfície, orientada positivamente, da região delimitada pelo cilindro parabólico z=1-y^2 e pelos planos z=0, x=0 e x+z=2.
OBS: Resolva a Questão 4 no verso desta folha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(x^2+z^4) i+(x y+e^x z) j+cos (x^4 y^4) k sobre a superfície S. Essa superfície é delimitada pelo cilindro parabólico z=1-y^2 e pelos planos z=0, x=0 e x+z=2. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo através de uma superfície fechada com a integral do divergente do campo vetorial sobre o volume delimitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial F. O divergente é dado por:
nabla cdot F = partialpartial x(x^2+z^4) + partialpartial y(x y+e^x z) + partialpartial z(cos (x^4 y^4))

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  1. partialpartial x(x^2+z^4) = 2x
  2. partialpartial y(x y+e^x z) = x
  3. partialpartial z(cos (x^4 y^4)) = 0 (já que a derivada de coseno de uma função que não depende de z é zero)
Então, o divergente é:
nabla cdot F = 2x + x = 3x

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral volumétrica do divergente sobre a região delimitada. A região está limitada pelo cilindro parabólico z=1-y^2 e pelos planos z=0, x=0 e x+z=2. Precisamos encontrar os limites de integração para x, y e z.
  • De z=0 a z=1 - y^2.
  • De x=0 a x=2 - z (vindo de x + z = 2).
Para y, considerando o cilindro parabólico z = 1 - y^2 e z >= 0, temos 1 - y^2 >= 0 Rightarrow y^2 <= 1 Rightarrow -1 <= y <= 1.

Passo 5

Montando a integral tripla:
integral triplaV nabla cdot F , dV = integraly=-1^1 integralz=0^1 - y^2 integralx=0^2 - z 3x , dx , dz , dy
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a x:
integral0^2 - z 3x , dx = [32x^2]0^2 - z = 32(2 - z)^2
Agora, a integral fica:
integraly=-1^1 integralz=0^1 - y^2 32(2 - z)^2 , dz , dy

Passo 7

Agora, integramos em relação a z:
integral0^1 - y^2 32(2 - z)^2 , dz
Vamos fazer a substituição u = 2 - z, então du = -dz. Quando z=0, u=2, e quando z=1 - y^2, u=2 - (1 - y^2) = 1 + y^2. A integral fica:
32 integralu=2^1 + y^2 u^2 (-du) = 32 integral1 + y^2^2 u^2 du = 32 [u^33]1 + y^2^2 = 12 (8 - (1 + y^2)^3)
Então, a integral agora é:
integraly=-1^1 12 (8 - (1 + y^2)^3) dy = 12 [8 integral-1^1 dy - integral-1^1 (1 + y^2)^3 dy ]

Passo 8

Calculando as integrais:
  1. 8 integral-1^1 dy = 8 times (1 - (-1)) = 16
  2. integral-1^1 (1 + y^2)^3 dy
Vamos expandir (1 + y^2)^3:
(1 + y^2)^3 = 1 + 3y^2 + 3y^4 + y^6
Então,
integral-1^1 (1 + y^2)^3 dy = integral-1^1 (1 + 3y^2 + 3y^4 + y^6) dy = [y + y^3 + 35y^5 + 17y^7]-1^1
Como todas as potências de y são pares (exceto o termo linear, mas o intervalo é simétrico), o resultado será:
2 (1 + 13 times 0 + 35 times 0 + 17 times 0) = 2 times 1 = 2
Na verdade, há um erro nesta parte. Vamos calcular corretamente:
Para cada termo:
  • integral-1^1 1 , dy = 2
  • integral-1^1 3y^2 , dy = 3 times 23 = 2
  • integral-1^1 3y^4 , dy = 3 times 25 = 65
  • integral-1^1 y^6 , dy = 27
Somando tudo:
2 + 2 + 65 + 27 = 4 + 65 + 27 = 14035 + 4235 + 1035 = 19235

Passo 9

Agora, voltando à integral original:
12 (16 - 19235) = 12 (56035 - 19235) = 12 times 36835 = 18435

Resposta

A integral de fluxo integral duplaS F cdot d S é igual a 18435.

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