Para o campo , calcule a integral de fluxo , onde é a superfície, orientada positivamente, da região delimitada pelo cilindro parabólico e pelos planos e .
OBS: Resolva a Questão 4 no verso desta folha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de fluxo do campo vetorial sobre a superfície . Essa superfície é delimitada pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo através de uma superfície fechada com a integral do divergente do campo vetorial sobre o volume delimitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial . O divergente é dado por:

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  1. (já que a derivada de coseno de uma função que não depende de z é zero)
Então, o divergente é:

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral volumétrica do divergente sobre a região delimitada. A região está limitada pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Precisamos encontrar os limites de integração para , e .
  • De a .
  • De a (vindo de ).
Para , considerando o cilindro parabólico e , temos .

Passo 5

Montando a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Vamos fazer a substituição , então . Quando , , e quando , . A integral fica:
Então, a integral agora é:

Passo 8

Calculando as integrais:
Vamos expandir :
Então,
Como todas as potências de y são pares (exceto o termo linear, mas o intervalo é simétrico), o resultado será:
Na verdade, há um erro nesta parte. Vamos calcular corretamente:
Para cada termo:
Somando tudo:

Passo 9

Agora, voltando à integral original:

Resposta

A integral de fluxo é igual a .

Exercícios relacionados

Considere a superfície orientada de maneira que o unitário normal aponte em direção ao eixo . Dado o campo vetorial , sobre o valor da integral de fluxo , a única afirmação correta é:
(a) não é possível determiná-lo;
(b) é igual a zero;
© é igual a ;
é igual a
(e) nenhuma das alternativas é correta.
Use o Teorema da sequência monótona para verificar se a sequência dada converge.
Se ela convergir, encontre o limite.
Considere as seguintes superfícies assim definidas: e . Se e são as áreas de e , respectivamente, então a única afirmação correta é:
(a)
(b) ; 0
for ; 0
(d) ;
(e) nenhuma das alternativas é correta.
Use o teorema de Green para calcular .
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
, C é a circunferência , orientada no sentido anti-horário.