Use o teorema de Green para calcular .
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
, C é a circunferência , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A curva é uma circunferência centrada em com raio , e está orientada anti-horário. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha, campos vetoriais e como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que está dentro de . A fórmula é:
Onde é o campo vetorial dado.

Passo 3

Vamos identificar e do nosso campo vetorial:
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .
Primeiro, vamos calcular :
Usando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Derivando em relação a :

Passo 6

Substituindo as derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Então, a integral dupla fica:

Passo 7

A integral representa a área da região dentro da curva . Como é uma circunferência de raio , a área é:
Á

Passo 8

Portanto, substituindo na integral:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Considere as seguintes superfícies assim definidas: e . Se e são as áreas de e , respectivamente, então a única afirmação correta é:
(a)
(b) ; 0
for ; 0
(d) ;
(e) nenhuma das alternativas é correta.
Para o campo , calcule a integral de fluxo , onde é a superfície, orientada positivamente, da região delimitada pelo cilindro parabólico e pelos planos e .
OBS: Resolva a Questão 4 no verso desta folha.
Verifique o teorema da divergência de Gauss no plano e o teorema de Stokes no plano para D dados.
e é a região limitada pela circunferência .
Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região cuja fronteira é o quadrilátero com vértices em e .