Use o teorema de Green para calcular integralC F cdot d r.
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
F(x, y)=(y-ln (x^2+y^2), 2 arctg(yx)), C é a circunferência (x-2)^2+(y-3)^2=1, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o Teorema de Green. A curva C é uma circunferência centrada em (2,3) com raio 1, e está orientada anti-horário. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha, campos vetoriais e como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D que está dentro de C. A fórmula é:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA
Onde F = (M, N) é o campo vetorial dado.

Passo 3

Vamos identificar M e N do nosso campo vetorial:
F(x, y) = ( y - ln(x^2 + y^2), 2 arctan(yx) )
Então, temos:
  • M = y - ln(x^2 + y^2)
  • N = 2 arctan(yx)

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Npartial x e partial Mpartial y.
Primeiro, vamos calcular partial Npartial x:
N = 2 arctan(yx)
Usando a regra da cadeia:
partial Npartial x = 2 cdot 11 + (yx)^2 cdot ( -yx^2 ) = -2yx^2 + y^2

Passo 5

Agora, vamos calcular partial Mpartial y:
M = y - ln(x^2 + y^2)
Derivando em relação a y:
partial Mpartial y = 1 - 2yx^2 + y^2

Passo 6

Substituindo as derivadas na fórmula do Teorema de Green:
partial Npartial x - partial Mpartial y = -2yx^2 + y^2 - (1 - 2yx^2 + y^2) = -1
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (-1) , dA = - integral duplaD dA

Passo 7

A integral integral duplaD dA representa a área da região D dentro da curva C. Como C é uma circunferência de raio 1, a área é:
Área = pi r^2 = pi cdot 1^2 = pi Á

Passo 8

Portanto, substituindo na integral:
- integral duplaD dA = -pi

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r é igual a - pi.

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