Use o teorema de Green para calcular
.
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
, C é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário.
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. A curva
é uma circunferência centrada em
com raio
, e está orientada anti-horário. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha, campos vetoriais e como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que está dentro de
. A fórmula é:
Onde
é o campo vetorial dado.
Passo 3
Vamos identificar
e
do nosso campo vetorial:
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Primeiro, vamos calcular
:
Usando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Substituindo as derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Então, a integral dupla fica:
Passo 7
A integral
representa a área da região
dentro da curva
. Como
é uma circunferência de raio
, a área é:
Passo 8
Portanto, substituindo na integral:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
Exercícios relacionados
Considere as seguintes superfícies assim definidas:
e
. Se
e
são as áreas de
e
, respectivamente, então a única afirmação correta é:
(a)
(b) ; 0
for ; 0
(d) ;
(e) nenhuma das alternativas é correta.
(a)
(b)
for
(d)
(e) nenhuma das alternativas é correta.
Para o campo
, calcule a integral de fluxo
, onde
é a superfície, orientada positivamente, da região delimitada pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
OBS: Resolva a Questão 4 no verso desta folha.
OBS: Resolva a Questão 4 no verso desta folha.
Verifique o teorema da divergência de Gauss no plano e o teorema de Stokes no plano para
D dados.
e
é a região limitada pela circunferência
.
Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região cuja fronteira é o quadrilátero com vértices em
e
.