Considere a superfície
orientada de maneira que o unitário normal aponte em direção ao eixo
. Dado o campo vetorial
, sobre o valor da integral de fluxo
, a única afirmação correta é:
(a) não é possível determiná-lo;
(b) é igual a zero;
© é igual a
;
é igual a
(e) nenhuma das alternativas é correta.
(a) não é possível determiná-lo;
(b) é igual a zero;
© é igual a
(e) nenhuma das alternativas é correta.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície
definida por
para
, e um campo vetorial
. Queremos calcular a integral de fluxo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com uma integral de linha ao redor da borda dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a rotacional de
, ou seja,
. A rotacional de um campo vetorial
é dada por:
Vamos calcular cada componente:
Então, a rotacional de
é:
Passo 3
Agora, aplicaremos o Teorema de Stokes, que nos diz que:
Aqui,
é a borda da superfície
. No nosso caso,
é o paraboloide
de
a
. A borda
será o círculo
no plano
.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva
. Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
onde
varia de
a
.
Diferenciando em relação a
:
Então, o vetor diferencial
é:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na integral de linha:
Primeiro, encontramos
na curva
:
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Agora, integramos de
a
:
Essa integral pode ser resolvida observando que:
- A integral de
de a é zero. - A integral de
pode ser resolvida usando identidades trigonométricas. - A integral de
também é zero devido à simetria do intervalo.
Após calcular as integrais, obtemos:
Resposta
A integral de fluxo
é igual a
.
Exercícios relacionados
Se ela convergir, encontre o limite.
em que
é uma constante real.
Usando igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral
.
Usando
Para o campo
, calcule a integral de fluxo
, onde
é a superfície, orientada positivamente, da região delimitada pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
OBS: Resolva a Questão 4 no verso desta folha.
OBS: Resolva a Questão 4 no verso desta folha.
Considere as seguintes superfícies assim definidas:
e
. Se
e
são as áreas de
e
, respectivamente, então a única afirmação correta é:
(a)
(b) ; 0
for ; 0
(d) ;
(e) nenhuma das alternativas é correta.
(a)
(b)
for
(d)
(e) nenhuma das alternativas é correta.