Considere a superfície orientada de maneira que o unitário normal aponte em direção ao eixo . Dado o campo vetorial , sobre o valor da integral de fluxo , a única afirmação correta é:
(a) não é possível determiná-lo;
(b) é igual a zero;
© é igual a ;
é igual a
(e) nenhuma das alternativas é correta.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície definida por para , e um campo vetorial . Queremos calcular a integral de fluxo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com uma integral de linha ao redor da borda dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a rotacional de , ou seja, . A rotacional de um campo vetorial é dada por:
Vamos calcular cada componente:
Então, a rotacional de é:

Passo 3

Agora, aplicaremos o Teorema de Stokes, que nos diz que:
Aqui, é a borda da superfície . No nosso caso, é o paraboloide de a . A borda será o círculo no plano .

Passo 4

Vamos parametrizar a curva . Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
onde varia de a .
Diferenciando em relação a :
Então, o vetor diferencial é:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na integral de linha:
Primeiro, encontramos na curva :

Passo 6

Calculamos o produto escalar :

Passo 7

Agora, integramos de a :
Essa integral pode ser resolvida observando que:
  • A integral de de a é zero.
  • A integral de pode ser resolvida usando identidades trigonométricas.
  • A integral de também é zero devido à simetria do intervalo.
Após calcular as integrais, obtemos:

Resposta

A integral de fluxo é igual a .

Exercícios relacionados

Use o Teorema da sequência monótona para verificar se a sequência dada converge.
Se ela convergir, encontre o limite.
Considere a equação
em que é uma constante real.
Usando igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral .
Para o campo , calcule a integral de fluxo , onde é a superfície, orientada positivamente, da região delimitada pelo cilindro parabólico e pelos planos e .
OBS: Resolva a Questão 4 no verso desta folha.
Considere as seguintes superfícies assim definidas: e . Se e são as áreas de e , respectivamente, então a única afirmação correta é:
(a)
(b) ; 0
for ; 0
(d) ;
(e) nenhuma das alternativas é correta.