Considere a superfície S=x^2+y^2=z, 0 <= z <= 1 orientada de maneira que o unitário normal aponte em direção ao eixo z. Dado o campo vetorial F(x, y, z)=(z-y x^2, x y^2+cos y, z^4), sobre o valor da integral de fluxo integral duplaS(nabla times F) cdot d S, a única afirmação correta é:
(a) não é possível determiná-lo;
(b) é igual a zero;
© é igual a 2 pi3;
propto é igual a pi2 ;
(e) nenhuma das alternativas é correta.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície definida por para , e um campo vetorial . Queremos calcular a integral de fluxo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com uma integral de linha ao redor da borda dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) , ou seja, partial Fzpartial y = partial z^4partial y = 0 . A rotacional de um campo vetorial partial Fypartial z = partial (xy^2 + cos y)partial z = 0 é dada por:
partial Fxpartial z = partial (z - yx^2)partial z = 1
Vamos calcular cada componente:
partial Fzpartial x = partial z^4partial x = 0
partial Fypartial x = partial (xy^2 + cos y)partial x = y^2
partial Fxpartial y = partial (z - yx^2)partial y = -x^2
nabla times F = (0 - 0, 1 - 0, y^2 - (-x^2)) = (0, 1, x^2 + y^2)
Então, a rotacional de é:

Passo 3

Agora, aplicaremos o Teorema de Stokes, que nos diz que:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointC F cdot dr
Aqui, é a borda da superfície . No nosso caso, é o paraboloide de a . A borda será o círculo no plano .

Passo 4

Vamos parametrizar a curva x = cos theta . Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
y = sin theta
z = 1
dx = -sin theta , dtheta
onde dy = cos theta , dtheta varia de dz = 0 a dr = (-sin theta, cos theta, 0) , dtheta .
Diferenciando em relação a :
Então, o vetor diferencial é:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na integral de linha:
ointC F cdot dr = integral0^2pi F(cos theta, sin theta, 1) cdot (-sin theta, cos theta, 0) , dtheta
Primeiro, encontramos F(cos theta, sin theta, 1) = (1 - sin theta cdot cos^2 theta, cos theta cdot sin^2 theta + cos (sin theta), 1^4) = (1 - sin theta cos^2 theta, cos theta sin^2 theta + cos (sin theta), 1) na curva :

Passo 6

Calculamos o produto escalar F cdot dr = (1 - sin theta cos^2 theta)(-sin theta) + (cos theta sin^2 theta + cos (sin theta))(cos theta) + (1)(0) :
= -sin theta + sin^2 theta cos^2 theta + cos^2 theta sin^2 theta + cos theta cos (sin theta)
= -sin theta + 2 sin^2 theta cos^2 theta + cos theta cos (sin theta)

Passo 7

Agora, integramos de ointC F cdot dr = integral0^2pi (-sin theta + 2 sin^2 theta cos^2 theta + cos theta cos (sin theta)) dtheta a ointC F cdot dr = pi2 :
Essa integral pode ser resolvida observando que:
  • A integral de de a é zero.
  • A integral de pode ser resolvida usando identidades trigonométricas.
  • A integral de também é zero devido à simetria do intervalo.
Após calcular as integrais, obtemos:

Resposta

A integral de fluxo é igual a .

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