Considere as seguintes superfícies assim definidas: e . Se e são as áreas de e , respectivamente, então a única afirmação correta é:
(a)
(b) ; 0
for ; 0
(d) ;
(e) nenhuma das alternativas é correta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas superfícies geométricas definidas por equações no espaço tridimensional:
  • : É uma esfera de raio , mas só consideramos a parte onde .
  • : É um cone com abertura determinada pela equação , restringido também a .
O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de áreas de superfícies no espaço, especificamente usando integrais de superfície. Precisamos calcular as áreas de e de e comparar essas áreas para achar qual das alternativas está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da superfície . Como é uma parte de uma esfera, usamos a fórmula da área esférica. A área total de uma esfera é , mas queremos apenas a parte da esfera onde .
Para uma esfera de raio , a área total seria:
Como estamos considerando apenas a parte entre e , precisamos determinar a fração dessa área. Isso envolve calcular a área esférica correspondente a esse intervalo de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da superfície , que é um cone. A equação descreve um cone com semiângulo de 45 graus. A área de um cone pode ser calculada usando a fórmula:
onde é o raio da base e é a geratriz. No nosso caso, e , então:

Passo 4

Com as áreas e calculadas, vamos comparar:
  • é uma parte da área esférica de , então .
  • .
Agora, analisando as alternativas:
(a) : Provavelmente falso, já que é uma fração de , que é maior que .
(b) : Se , então . Como , essa afirmação também é falsa.
© : Se e , a soma pode ser maior que , então provavelmente falsa.
(d) : Se pode chegar a e , então , então verdadeira.

Resposta

A alternativa correta é a (d) .

Exercícios relacionados

Para o campo , calcule a integral de fluxo , onde é a superfície, orientada positivamente, da região delimitada pelo cilindro parabólico e pelos planos e .
OBS: Resolva a Questão 4 no verso desta folha.
Considere a superfície orientada de maneira que o unitário normal aponte em direção ao eixo . Dado o campo vetorial , sobre o valor da integral de fluxo , a única afirmação correta é:
(a) não é possível determiná-lo;
(b) é igual a zero;
© é igual a ;
é igual a
(e) nenhuma das alternativas é correta.
Use o teorema de Green para calcular .
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
, C é a circunferência , orientada no sentido anti-horário.
Verifique o teorema da divergência de Gauss no plano e o teorema de Stokes no plano para D dados.
e é a região limitada pela circunferência .