Considere as seguintes superfícies assim definidas: S1 = {x^2 + y^2 + z^2 = 3, 0 <= } x <= 1 e S2 = {x = raiz(y^2 + z^2), 0 <= x <= 1}. Se A1 e A2 são as áreas de S1 e S2, respectivamente, então a única afirmação correta é:
(a) A1 < A2
(b) A1 < 3 A2; 0
for A1 + A2 < 9 * pi; 0
(d) A1/A2 > 4; x
(e) nenhuma das alternativas é correta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas superfícies geométricas definidas por equações no espaço tridimensional:
  • : É uma esfera de raio , mas só consideramos a parte onde .
  • : É um cone com abertura determinada pela equação , restringido também a .
O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de áreas de superfícies no espaço, especificamente usando integrais de superfície. Precisamos calcular as áreas de e de e comparar essas áreas para achar qual das alternativas está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da superfície . Como é uma parte de uma esfera, usamos a fórmula da área esférica. A área total de uma esfera é , mas queremos apenas a parte da esfera onde .
Para uma esfera de raio , a área total seria:
Como estamos considerando apenas a parte entre e , precisamos determinar a fração dessa área. Isso envolve calcular a área esférica correspondente a esse intervalo de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da superfície , que é um cone. A equação descreve um cone com semiângulo de 45 graus. A área de um cone pode ser calculada usando a fórmula:
onde é o raio da base e é a geratriz. No nosso caso, e , então:

Passo 4

Com as áreas e calculadas, vamos comparar:
  • é uma parte da área esférica de , então .
  • .
Agora, analisando as alternativas:
(a) : Provavelmente falso, já que é uma fração de , que é maior que .
(b) : Se , então . Como , essa afirmação também é falsa.
© : Se e , a soma pode ser maior que , então provavelmente falsa.
(d) : Se pode chegar a e , então , então verdadeira.

Resposta

A alternativa correta é a (d) .

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