Considere as seguintes superfícies assim definidas:
e
. Se
e
são as áreas de
e
, respectivamente, então a única afirmação correta é:
(a)
(b)
; 0
for
; 0
(d)
;
(e) nenhuma das alternativas é correta.
(a)
(b)
for
(d)
(e) nenhuma das alternativas é correta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas superfícies geométricas definidas por equações no espaço tridimensional:
-
: É uma esfera de raio , mas só consideramos a parte onde . -
: É um cone com abertura determinada pela equação , restringido também a .
O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de áreas de superfícies no espaço, especificamente usando integrais de superfície. Precisamos calcular as áreas
de
e
de
e comparar essas áreas para achar qual das alternativas está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da superfície
. Como
é uma parte de uma esfera, usamos a fórmula da área esférica. A área total de uma esfera é
, mas queremos apenas a parte da esfera onde
.
Para uma esfera de raio
, a área total seria:
Como estamos considerando apenas a parte entre
e
, precisamos determinar a fração dessa área. Isso envolve calcular a área esférica correspondente a esse intervalo de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da superfície
, que é um cone. A equação
descreve um cone com semiângulo de 45 graus. A área de um cone pode ser calculada usando a fórmula:
onde
é o raio da base e
é a geratriz. No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Com as áreas
e
calculadas, vamos comparar:
-
é uma parte da área esférica de , então . -
.
Agora, analisando as alternativas:
(a)
: Provavelmente falso, já que
é uma fração de
, que é maior que
.
(b)
: Se
, então
. Como
, essa afirmação também é falsa.
©
: Se
e
, a soma pode ser maior que
, então provavelmente falsa.
(d)
: Se
pode chegar a
e
, então
, então verdadeira.
Resposta
A alternativa correta é a (d)
.