(1, 5) Use o Teorema da sequência monótona para verificar se a sequência dada converge.
a_n = n / (2 n^2 + 1)
Se ela convergir, encontre o limite.
a3 > a2 > a1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre sequências monótonas. A gente precisa verificar se a sequência converge usando o Teorema da Sequência Monótona. Pra isso, vamos precisar entender sobre sequências que só aumentam ou só diminuem e também calcular limites de funções quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a sequência é monótona. Olhando para os termos dados: , , e , a gente vê que . Isso indica que a sequência está crescente.

Passo 3

Agora, a gente vai verificar se essa sequência está limitada. Como , vamos simplificar dividindo o numerador e o denominador por :
À medida que cresce, domina e vai pra zero, então fica menor que , que tende a zero.

Passo 4

Segundo o Teorema da Sequência Monótona, se uma sequência é crescente e está limitada acima, ela converge. Já vimos que é crescente e está limitada (não ultrapassa certos valores), então ela deve convergir.

Passo 5

Vamos encontrar o limite de quando tende ao infinito:
Portanto, o limite é zero.

Resposta

A sequência é monótona crescente e converge para 0.

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