Um campo de forças f é definido no R^3 pela equação
f(x, y, z) = y i + z j + y z k
(a) Determine se f é um campo conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se o campo de forças é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Para verificar isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo . Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial . A fórmula do rotacional é:

Passo 3

Agora, identificando , e , vamos calcular cada derivada parcial:
  • (já que não há )
  • (já que é constante em relação a )
  • (já que é constante em relação a )

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:

Passo 5

Observamos que o rotacional de não é o vetor nulo, já que temos componentes e . Isso significa que o rotacional não é zero em todo o domínio.

Resposta

Como o rotacional de não é zero, concluímos que o campo de forças não é conservativo.

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