Um campo de forças
é definido no
pela equação
(a) Determine se
é um campo conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se o campo de forças
é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Para verificar isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo
. Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial
. A fórmula do rotacional é:
Passo 3
Agora, identificando
,
e
, vamos calcular cada derivada parcial:
-
-
-
(já que não há ) -
(já que é constante em relação a ) -
(já que é constante em relação a ) -
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
Passo 5
Observamos que o rotacional de
não é o vetor nulo, já que temos componentes
e
. Isso significa que o rotacional não é zero em todo o domínio.
Resposta
Como o rotacional de
não é zero, concluímos que o campo de forças
não é conservativo.