Encontre uma função , de modo que , seja solução da equação

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida para e precisa encontrar uma função que faça com que essa seja solução da equação diferencial dada por:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas de funções compostas e equações diferenciais ordinárias de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que seja uma solução da equação. Isso quer dizer que, ao substituir e suas derivadas na equação, ela deve satisfazê-la.
Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Em seguida, precisamos derivar essa expressão novamente para encontrar :

Passo 4

Aplicando a regra do produto para derivação:
Calculando a derivada da segunda parte:
Então:

Passo 5

Agora, vamos substituir e na equação original:
Vamos reorganizar os termos:

Passo 6

Podemos simplificar agrupando os termos com e :
Fatorando :

Passo 7

Para que a equação seja satisfeita para todo , os coeficientes de e devem ser iguais a zero.
Analisando os termos, podemos igualar a expressão a zero e resolver para . Após algumas manipulações, encontraremos que uma possível função que satisfaz a equação é:
onde é uma constante.

Resposta

A função que satisfaz a equação dada é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Nos exercícios 26. e 27., encontre a solução geral da equação diferencial, fazendo, inicialmente, a substituição para transformá-la em uma equação polinomial na variável .
Um campo de forças é definido no pela equação
(a) Determine se é um campo conservativo.