Encontre uma função f(x), de modo que y = sen(ln x), x > 0, seja solução da equação
[f(x) * y'']' + y/x = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida para e precisa encontrar uma função que faça com que essa seja solução da equação diferencial dada por:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas de funções compostas e equações diferenciais ordinárias de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que seja uma solução da equação. Isso quer dizer que, ao substituir e suas derivadas na equação, ela deve satisfazê-la.
Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Em seguida, precisamos derivar essa expressão novamente para encontrar :

Passo 4

Aplicando a regra do produto para derivação:
Calculando a derivada da segunda parte:
Então:

Passo 5

Agora, vamos substituir e na equação original:
Vamos reorganizar os termos:

Passo 6

Podemos simplificar agrupando os termos com e :
Fatorando :

Passo 7

Para que a equação seja satisfeita para todo , os coeficientes de e devem ser iguais a zero.
Analisando os termos, podemos igualar a expressão a zero e resolver para . Após algumas manipulações, encontraremos que uma possível função que satisfaz a equação é:
onde é uma constante.

Resposta

A função que satisfaz a equação dada é:
onde é uma constante arbitrária.

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