Encontre uma função
, de modo que
, seja solução da equação
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
definida para
e precisa encontrar uma função
que faça com que essa
seja solução da equação diferencial dada por:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas de funções compostas e equações diferenciais ordinárias de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
seja uma solução da equação. Isso quer dizer que, ao substituir
e suas derivadas na equação, ela deve satisfazê-la.
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Em seguida, precisamos derivar essa expressão novamente para encontrar
:
Passo 4
Aplicando a regra do produto para derivação:
Calculando a derivada da segunda parte:
Então:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na equação original:
Vamos reorganizar os termos:
Passo 6
Podemos simplificar agrupando os termos com
e
:
Fatorando
:
Passo 7
Para que a equação seja satisfeita para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais a zero.
Analisando os termos, podemos igualar a expressão a zero e resolver para
. Após algumas manipulações, encontraremos que uma possível função que satisfaz a equação é:
onde
é uma constante.
Resposta
A função
que satisfaz a equação dada é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Nos exercícios 26. e 27., encontre a solução geral da equação diferencial, fazendo, inicialmente, a substituição
para transformá-la em uma equação polinomial na variável
.
Um campo de forças
é definido no
pela equação
(a) Determine se
é um campo conservativo.