Um campo de forças é definido no pela equação
(b) Calcule o trabalho realizado por uma partícula que percorre a curva descrita por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o trabalho realizado por uma partícula que se move ao longo de uma curva específica num campo de forças dado. A matéria aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente Integrais de Linha. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular o trabalho através da integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. O trabalho realizado por um campo de forças ao mover uma partícula ao longo de uma curva de até é dado pela integral de linha:
Aqui, é a derivada da curva em relação a , e o ponto entre e representa o produto escalar.

Passo 3

Vamos identificar as funções do nosso exercício. O campo de forças é:
E a curva é parametrizada por:

Passo 4

Primeiro, precisamos achar a derivada da curva em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos as componentes de na função :

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de até :
Vamos quebrar a integral em partes para facilitar:

Passo 8

Calculando cada integral:
  1. Primeira Integral:
Então,
  1. Segunda Integral:
Usamos a integração por partes para :
Avaliada de 0 a :
  1. Terceira Integral:
Usamos também a integração por partes para :
Avaliada de 0 a :

Passo 9

Agora, somamos todas as partes:
Vamos simplificar:

Resposta

O trabalho realizado pela partícula é:

Exercícios relacionados

Considere um campo vetorial a dado como gradiente de uma função de tipo e prove que as suas componentes verificam:
Um campo de forças é definido no pela equação
(a) Determine se é um campo conservativo.
Um campo de forças radial no plano é da forma , em que e . Mostre que esse campo é conservativo.
Dica: defina , pois .
Considere o campo de força gravitacional (com ) definido para todo ponto distinto da origem por:
Mostrar que o trabalho realizado pela força gravitacional conforme uma partícula se traslada de a , a longo de uma trajetória qualquer, depende exclusivamente dos rádios e .