(b) Calcule o trabalho realizado por uma partícula que percorre a curva descrita por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o trabalho realizado por uma partícula que se move ao longo de uma curva específica num campo de forças dado. A matéria aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente Integrais de Linha. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular o trabalho através da integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. O trabalho realizado por um campo de forças ao mover uma partícula ao longo de uma curva de até é dado pela integral de linha:
Aqui, é a derivada da curva em relação a , e o ponto entre e representa o produto escalar.
Passo 3
Vamos identificar as funções do nosso exercício. O campo de forças é:
E a curva é parametrizada por:
Passo 4
Primeiro, precisamos achar a derivada da curva em relação a :
Passo 5
Agora, substituímos as componentes de na função :
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar :
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de até :
Vamos quebrar a integral em partes para facilitar: